Тема 13. Моноиды. Степени элементов. Обратимость и сократимость. Особенности конечных моноидов.

Используем введённые свойства элементов и операций для введения ограничений в последующем рассмотрении бинарных алгебр: рассмотрим алгебры с ассоциативной операцией и двусторонним нейтральным элементом. Множество таких алгебр можно определить следующей формулой:

ℳ = {A,  | (xA yA zA (xy)z = x(yz)) & (eA xA ex=xe=x)}

Алгебра A,  с ассоциативной операцией  и двусторонним нейтральным элементом e называется моноидом.

Ассоциативность операции и наличие нейтрального элемента позволяет в определённых ситуациях делать выводы о значениях выражений или отдельных операндов по результатам наблюдений вычисленных по формулам с известной структурой выражений. Это может быть полезно при рассмотрении преобразований символьной информации в задачах кодирования и шифрования.

Рассмотрим некоторые свойства элементов, применимые к анализу выражений в таких алгебрах.

Назовём элемент aAалгебрыA, ℳсократимым слева, если для него имеет место следующее свойство:

ax=ay  x=y

Такое свойство позволяет сокращать одинаковые левые части формул, если все элементы в этих частях формул обладают свойством сократимости. Действительно, если операция ассоциативна, равенства вида abx=abyможно интерпретировать какa(bx)=a(by). Сокращаяaслева, получаемbx=by. Еслиbтоже сократим слева, далее получаемx=y.

Свойство сократимости слева можно проиллюстрировать при помощи таблицы Кэли. Рассмотрим противоположное обратному сократимости слева свойство

xy  axay

Для сократимого слева элемента оно тоже выполняется. Выполнимость противоположного обратному некоторого утверждения это известная схема в логике высказываний вида (pq)  (qp).

Такое свойство означает, что все значения, выписанные в строке таблицы, озаглавленной сократимым слева символом aразличны, поскольку различны заголовки столбцов таблицы.

В конечной таблице это означает, что строка для сократимого слева элемента представляет собой некоторую перестановкуэлементов множества, на котором задана алгебра, и каждый элемент множества присутствует в такой строке.

Аналогично, свойство xa =ya  x=yдля элементаaназываетсясократимостью справа. Противоположное обратному для негоxy  xa yaозначает различие элементов в соответствующем столбце таблицы.

Кроме возможности сокращать общую часть выражений, желательно иметь возможность восстановления значения одного из операндов при известном другом операнде по результату, то есть иметь возможность решения уравнений видов ax=bиxa=b. Для моноидов в этом отношении полезным оказывается свойство обратимости элементов.

Допустим, имеет место равенство xy=e, гдеe– нейтральный элемент. Тогда элементxназываетсялевым обратнымдля элементаy, а элементy–правым обратнымдля элементаx. При этом элементyназываетсяобратимым слева, а элементx–обратимым справа:

x– обратим слеваy yx=e

x– обратим справаy xy=e

Аналогичные двусторонние свойства можно сформулировать так:

x– двусторонне обратим(y yx=e) & (y xy=e)

То есть, элемент двусторонне обратим, если у него есть левый и правый обратный элемент. Однако не требуется, чтобы они совпадали, хотя в рассматриваемых алгебрах, как далее увидим, это получится автоматически.

y– двусторонне-обратный дляx yx=xy=e

То есть, двусторонне-обратный элемент подходит слева и справа к одному и тому же элементу, давая в результате нейтральный элемент.

Применимость обратимости к решению уравнения ax=bдоказывается следующим образом. Допустим, элементaобратим слева. Это означает, чтоy ya=e. Применим левый обратный дляaк обеим частям уравнения.y(ax)=yb. Далее используем ассоциативность операциидля перестановки скобок. Получим (ya)x=yb. Так какya=e иex=x, получаем решениеx=yb:

ax=b & ya=e & ax=b  y(ax)=yb   x = y  b

Аналогично, если ay=e & xa=b  x=by.

Видно, что из обратимости слева следует сократимость слева:

ba=e & ax=ay  b(ax)= b(ay)   (ba)x= (ba)y  ex=ey  x=y

Справедливо и аналогичное свойство в правой форме: ab=e & xa =ya  x=y

Вообще левые и правые формы свойств различают только потому, что не выдвигалось требований для операции быть коммутативной. Для коммутативной операции все свойства выполняются в двусторонней форме.

Посмотрим теперь, что для конечного моноида обратимость и сократимость взаимно обуславливается и всегда выполняется в двусторонней форме и сократимый элемент имеет единственный двусторонний обратный.

Для этого введем рекуррентное определение формальной степени элемента aAвассоциативнойалгебреA, ℳ:

a¹=a

a^k+1=a^ka

С каждым элементом aAвA, ℳсвязано множество степенейB_aA

B_a ={ x | kℕ x=a^k }

Как для любого ряда степеней в конечноммножестве, в ряду степеней элементаaсуществует цикл, обусловленный конечностью множестваB_a(нетинъективныхотображений изℕвB_a). Можно записать это так:iℕ jℕ i<j & aⁱ=a^j.

Тогда представим показатель степени jкак суммуj=i+k. При этомkℕ.

По свойству степеней тогда представим a^j=a^i+k=aⁱa^k.

С учётом aⁱ=a^jполучаем равенство

aⁱ=aⁱa^k

Если элемент aсократимый слева (ax=ay  x=y), заменим в левой части равенстваaⁱнаaⁱeи сократим слева элементаiраз:

aⁱ=aⁱa^k  aⁱe=aⁱa^k  e=a^k

Для ассоциативной операции скобки в выражениях можно опустить. Получили следующее свойство:

В конечном моноиде A, ℳ нейтральный элемент e представим как степень любого сократимого элемента.

A, ℳ & |A|=n & (ax=ay  x=y)  kℕ a^k=e

Зная, что kℕ a^k=e, найдём двусторонний обратный элемент дляa.

Возможно два случая: k=1 иk>1.

Если k=1 то это означает, чтоа=e. Такой элемент сам для себя является двусторонним обратным, так какee=e.

Если k>1, тоk1ℕ. Тогдаa^k1a=aa^k1=a^k=e. Видно, чтоa^k1является двусторонне-обратным дляa.

В любом случае mℕ a^ma=aa^m=e.

В конечном моноиде A, ℳ каждый сократимый элемент обратим, и имеет единственный двусторонне-обратный элемент, представимый некоторой своей натуральной степенью.

A, ℳ & |A|=n & (ax=ay  x=y)  mℕ a^ma=aa^m=e

Единственность такого обратного элемента следует из сократимости (всегда двусторонней): aa^m=e & ab=e b=a^m.

Получается, что у обратимых и сократимых элементов в конечных моноидах степени образуют циклы (без апериодической части) следующего вида:

Здесь символом s_aобозначена функция следования , вычисляющая следующую степень по предыдущей:s_a(x)=xa.