Тема 12. Бинарные алгебры с одной операцией: специальные свойства операций и специальные элементы.

В дальнейшем будем рассматривать не всё многообразие алгебр, а только те, для которых выполнены определённые ограниченияна свойства операций и элементов.

В качестве ограничивающих свойств рассмотрим следующие возможныесвойства:

1. Бинарная операция в алгебреA, называетсяассоциативной, если

xA yA zA (xy)z = x(yz)

2. Бинарная операция в алгебреA, называетсякоммутативной, если

xA yA xy = yx

По поведению относительно элементов множества и рассматриваемой операции выделим некоторые специальные элементы.

1. Если для некоторого элемента (обозначим его e_L) в алгебреA, выполняется свойствоxA e_Lx =x, то такой элемент называетсялевым нейтральным (илилевым единичным) элементом. Иногда его называют левой единицей алгебры.

2. Если для некоторого элемента (обозначим его e_R) в алгебреA, выполняется свойствоxA xe_R =x, то такой элемент называетсяправым нейтральным (илиправым единичным) элементом. Иногда его называют правой единицей алгебры.

3. Если для некоторого элемента (обозначим его e) в алгебреA, выполняется свойствоxA ex = xe  =x, то такой элемент называетсядвусторонним нейтральным (илидвусторонним единичным) элементом. Иногда его просто называютединицейалгебры.

Для таких элементов выполняются следующие свойства:

1. Если в алгебре A,  есть и левый e_L и правый e_R нейтральные элементы, то они совпадают (и, таким образом, в такой алгебре есть двусторонний нейтральный элемент).

(e_LA) & (e_RA) &  (xA e_Lx=x) & (xA xe_R=x)  e_L=e_R

(e_LA) & (e_RA) & (xA e_Lx=x) & (xA xe_R=x)  (eA xA ex=xe = x)

Для доказательства рассмотрим выражение e_Le_R. С одной стороны,e_Le_R=e_R по определению e_L. С другой стороныe_Le_R=e_Lпо определениюe_R. По транзитивности равенстваe_L=e_Le_R=e_R. Обозначим этот элементe=e_L=e_R. Свойства двустороннего нейтрального элемента для него выполняются.

2. Если в алгебре A,  есть двусторонний нейтральный элемент e, то он является единственным двусторонним левым нейтральными и единственным правым нейтральным элементом (и единственным двусторонним).

(eA) & (xA ex=xe=x)  (!eA xA ex=xe=x)

Доказывается аналогично. Предположим существование еще одного элемента e′со свойствомxA e′x=xe′=x. Тогдаe′e=e. Односторонние свойства являются частными случаями двустороннего свойства.

В дальнейшем мы будем чаще иметь дело только с двусторонним нейтральным элементом. Тогда будем его называть просто нейтральным элементом.

Аналогично вводятся определения для нулевых элементов (левых, правых и двусторонних). Нейтральные элементы в бинарной операции поглощаются оставшимся операндом. Нулевые сами поглощают оставшийся операнд. Определяющие свойства будут такие:

4. Если для некоторого элемента (обозначим его o_L) в алгебреA, выполняется свойствоxA o_Lx =o_L, то такой элемент называетсялевым нулевым элементом (илилевым нулём).

5. Если для некоторого элемента (обозначим его o_R) в алгебреA, выполняется свойствоxA xo_R =o_R, то такой элемент называетсяправым нулевым элементом (илиправым нулём).

6. Если для некоторого элемента (обозначим его o) в алгебреA, выполняется свойствоxA ox=xo =o, то такой элемент называетсядвусторонним нулевым элементом(илидвусторонним нулём).

Свойства этих специальных элементов аналогичны: если есть и левый и правый нулевые элементы, то они совпадают и, таким образом, в алгебре будет единственный двусторонний нулевой элемент: o_Lo_R =o_L=o_R=o.