Тема 19. Конечные области целостности и поля. Поля простого порядка.Элементы, кратные единице. Характеристика поля.Векторное представление элементов поля. Характеристика и размерность.

Поля простого порядка

Если p - простое число, то кольцо классов вычетов по модулю числа p будет областью целостности, так как 0<a,b<p a·bn·p.

Так как число классов вычетов конечно, то эта алгебра будет также и полем:

pP  Z/p -поле.

Конечные поля.

Характеристика поля

Число p = min m: ^m1=0 называется характеристикой поля (порядок элемента 1 по операции +).

Характеристика поля - простое число.

Доказательство:

Если характеристика поля p -составное, то p=p₁p₂, p₁,p₂<p   , что противоречит определению характеристики. Поэтомуp - простое число.

Такой же порядок по операции + имеют все элементы из A\{0}

Подполе простого порядка

В каждом конечном поле содержится подполе простого порядка.

Множество элементов {^k1|kN} образует подполе (замкнутость по + и , наличие элементов 0=^p1 и 1=¹1). Оно изоморфно Z/p:

Взаимно однозначное соответствие для k1..p-1

f(k)=^k1.

Сохранение операций:

f(x+y mod p)=f(x)+f(y)=^x1+^y1=^{x+y mod p}1

f(xy mod p)=f(x)f(y)=^x1 ^y1=^{xy mod p}1

Векторное представление элементов

Процедура получения представления элементов как линейной комбинации "базисных" элементов с "коэффициентами" - элементами подполя.

<A,+,> - конечное поле, <B,+,> - некоторое подполе (обычно <{^k1|kN},+,>, так как эта алгебра всегда будет подполем).

Шаг 1. Взять любой элемент x₁ из A\{0}. Построить множество А₁={a₁x₁|a₁B}.

Если А₁=A (и =B) то построение закончено - поле имело простой порядок - x₁ будет базисным элементом. Иначе перейти к шагу 2.

Шаг 2. Взять любой элемент x₂ из A\A₁. Построить множество A₂={a₁x₁+a₂x₂|a₁,a₂B}. A_1A₂, x_2A₁ x_2A₂, так что число элементов может только увеличиться. Если A₂=A, то построение закончится на этом шаге, x₁,x₂-базисные вектора. Иначе аналогично поступают с A\A₂.

В результате на некотором шаге m из-за исчерпания элементов в конечном множестве A будет получено следующее представление:

A=A_m={a₁x₁+a₂x₂+…+a_mx_m|a_iB}

Такое представление элементов обладает свойством

Каждый элемент представим в виде a₁x₁+a₂x₂+…+a_mx_m единственным образом (при фиксированных выбранных по описанной процедуре базисных элементах x₁, x₂…x_m).

Тема 20. Кольцо многочленов с коэффициентами из поля. Операции над многочленами. Конечные поля: построение путём разложения на классы вычетов по модулю неприводимого многочлена.

Рассмотрим теперь удобное представление для элементов конечного поля, позволяющее эффективно выполнять обе операции без необхдимости хранения двух таблиц Кэли.

Введём для этого вспомогательную алгебру на множестве полубесконечных последовательностей с элементами из множества A, на котором построена алгебра, являющаяся полем <A,+,>.

Удобнее будет нумеровать элементы таких последовательностей, начиная с позиции 0, а не с 1 в связи с особенностями испльзуемой далее системой обозначений:

(a_0, a_1, a_2, a₃…)

Будем обозначать такие последовательности формальным степенным рядом - многочленом от формального символаX. Будем записывать только те элементы ряда, в которых коэффициенты a_i не равны 0. Последовательности полубесконечные, но, если начиная с некоторого номера позиции они содержат только значения 0, их можно представить конечной формулой в виде степенного ряда. Например, последовательность

(1,1,1,0,1,0,1,0,0,0,…)

с двоичными элементами представляется как

1X⁰+1X¹+1X²+1X⁴+1X⁶.

Будет удобнее, если опускать X⁰ и 1 перед X и в показателе. Запишем эту последовательность тогда как

1+X+X²+X⁴+X⁶

Многочлен, соответсвующий последовательности из одних символов 0 обозначим 0.

Кроме возможности компактно представить полубесконечную последовательность конечной формулой, заметим, что порядок записи термов многочлена не играет роли.

Два многочлена называют равными, если коэффициенты при одинаковых степенях формального символа X совпадают.

Множество всех возможных многочленов над <A,+,> обозначают F[X].

Самый большой номер (считая от 0) ненулевого элемента последовательности называют степенью многочлена. Обозначается символом deg. Степень многочлена 0 обычно считают неопределённой. Можно ввести специальный нечисловой символ на этот случай, например,.

Пример

deg(1+X+X²+X⁴+X⁶)=6

deg(1+X²)=2

deg(1+X)=1

deg(1)=0

deg(0)=

Введём на множестве F[X] две операции – сложение и умножение многочленов – соответствующие тому, как это делается для обычных алгебраических многочленов.

Получаем алгебру многочленов <F[X],+, >. Такая алгебра будет кольцом, и даже областью целостности, но не полем, так как она бесконечна.

Действительно, для операции + мы получили коммутативную группу <F[X],+>. В ней многочлен 0 – нейтральный элемент и ()=.

Многочлен 1 (то есть 1X⁰) – нейтральный элемент для коммутативной операции .

(1) ()=.

Но обратимыми являются только многочлены степени 0: (a X⁰) (a^-1X⁰)=1X⁰.

Алгебра <F[X],+,> называется кольцом многочленов с коэффициентами из поля <A,+,>.

Для операции  можно ввести операцию деления с остатком.

gF[X] & hF[X] & g0  qF[X] rF[X] deg(r)<deg(g) & h=qg+r

Здесь многочлен q – частное от деления, r – остаток.

Справедливость этого утверждения следует из алгоритма деления с остатком для алгебраических многочленов.

Если deg(h)=m и deg(g)=n и m>n то h=aX^m+… и g=bXⁿ+…. Тогда q=(ab^-1)X^mn+….

Вычислен один член частного (при его самой старшей степени). Вычисляем частичный остаток p=h((g)((ab^-1)X^mn)) и продолжаем процедуру деления теперь для p вместо h. Процедура заканчивается, когда выполнится deg(p)<deg(g).

При построении простого поля как кольца классов вычетов, необходимо было рассматривать остатки от деления на простое число (не имеющее собственных делителей). Для многочленов аналогично вводится понятия неприводимого многочлена (в поле <A,+,>). Рассмотрими, например, двоичное поле и множество многочленов над ним.

В порядке возрастания степеней это будут

deg= 0

deg=0 1

deg=1 X, X+1

deg=2 X², X²+1, X²+X, X²+X+1

…

Но (X)(X)=X², (X)(X+1)= X²+X, (X+1)(X+1)= X²+1.

Видно, что X²+X+1 не представим в виде произведения многочленов меньшей степени.

Можно рассмотреть таблицу операции умножения многочленов степени менее 2 с последующим вычислением остатка от деления на этот многочлен. Такой остаток для ненулеых операндов никогда не будет равен 0. Поэтому такая алгебра будет являться конечной областью целостности и, следовательно, полем.

Пример такой таблицы показан ниже.

	0	1	X	X+1
0	0	0	0	0
1	0	1	X	X+1
X	0	X	X+1	1
X+1	0	X+1	1	X

Здесь в каждую ячейку вписан остаток от деления на X²+X+1 для произведения операндов. Добавляя к такой таблице поэлементное сложение многочленов, получаем поле из 4 элементов.

Продолжая этот пример, заметим, что с ростом степени многочлена возможно иметь несколько неприводимых многочленов одной степени. Например, среди 8 многочленов степени 3 есть 2 неприводимых многочлена (над двоичным полем): X³+X²+1 и X³+X+1: аналогично тому, как простые числа некоторого диапазона не покрывают своими произведениями множетсва всех чисел, многочлены степени не более заданной не покрывают своими произведениями даже следующей по порядку степени. Можно доказать, что над любым полем для любой степени существует по крайней мере один неприводимый многочлен.

Таким образом особенно удобно реализовывать вычисления в полях характеристики 2.

В них операция + соответствует поэлементному исключающему или, а операция  соответствует серии поэлементных исключающих или и сдвигов (реализующих рассмотренный алгоритм деления многочленов).

Литература

• Новиков, Ф.А. Дискретная математика для программистов : учеб. пособие для вузов по направлению 2003, 2003, 2004 / Ф.А. Новиков — М. [и др.] : Питер, 2004

• Дискретная математика и комбинаторика. / Андерсон Дж. А. — М., СПб., Киев Издательский дом «Вильямс», 2004

• Лекции по дискретной математике. / Дехтярь. М.И. — М. БИНОМ, 2007

• Дискретная математика. / Соболева Т.С. Чечкин А.В. — М. Академия, 2006

• Дискретная математика : курс лекций и практ. занятий : учеб. пособие для вузов по спец. 220200 \ / Шапорев С. Д. — СПб. : БХВ-Петербург, 2006

126