Тема 16. Двоичные групповые коды: постановка задачи повышения достоверности при передаче дискретной информации по ненадёжному каналу. Блоковое кодирование.

В качестве примера практического использования алгебраических свойств групп рассмотрим задачу повышения достоверности при передаче дискретной информации по ненадёжному каналу.

В отсутствие средств повышения достоверности передачи двоичной информации от источника к получателю выглядела бы следующим образом:

И - Источник, К - Канал, П - Получатель

Считая, что в канале нет ошибок вида пропадания или вставки символов (идеальная синхронизация) единственным видом ошибок является замена одного символа другим. В двоичном канале наличие ошибки означает замену символа противоположным (0 на 1 или 1 на 0). Замена символа на противоположный может быть выражена как результат операции “исключающее или” искаженного символа с константой 1, а отсутствие ошибки может быть выражено как операция “исключающее или” с константой 0. Поэтому такой идеализированный двоичный канал можно представить как устройство, где входная последовательность yпоэлементно “складывается” (поэлементно выполняется операция “исключающее или”) с последовательностью ошибокe(рис. 2). В результате получается последовательность на выходе каналаỹ=y+e. Здесь символ + означает поэлементную операцию над двоичными последовательностямиỹ_i=y_ie_i.

Рис. 2.

Для борьбы с ошибками на передающей стороне вводиться некоторая избыточность в передаваемой информации, а на приемной стороне на основании принятой последовательности и статистических свойств источника информации и канала выбирается наиболее правдоподобная комбинация возможной передаваемой последовательности и последовательности ошибокê. Такая схема иллюстрируется рис. 3.

Рис. 3.

И - источник, КУ - кодирующее устройство (кодер), ДКУ - декодирующее устройство (декодер), П - получатель

Чтобы такая схема работала, необходимо, чтобы зависимость y=f(x) была обратимой. Тогда=ỹ+ê, а =f^-1(). Можно также написатьê=ỹ+f().

Декодирующее устройство должно выбрать такую оценку передаваемого сообщения, которое максимизирует значение следующего выражения

,

где P_s(X) - вероятность появления последовательностиXна выходе источника,P_e(E|Y) - вероятность появления последовательности ошибокEв канале при условии подачи последовательностиYна вход канала.

Если все возможные последовательности на выходе источника равновероятны, а последовательность ошибок не зависит от передаваемой последовательности, декодер должен максимизировать только P_e(ỹ+f(X)) - безусловную вероятность последовательности ошибок. Таким образом, при данных допущениях оценка передаваемого сообщения принимает вид

,

где D- множество допустимых последовательностей на выходе источника.

Если сразу несколько последовательностей удовлетворяют такому условию, декодирующее устройство не может однозначно выбрать оценку передаваемой последовательности. В этом случае ошибка в передаче обнаруживается, но не может быть исправлена. При этом получателю может быть выдан некоторый сигнал. Схематически структура такого декодера показана на рис. 4.

Рис. 4.

Если только одна последовательность удовлетворяет приведенному условию, именно она и выдается получателю. При этом получатель может быть информирован об условиях принятия решения: он получит либо сигнал “в канале ошибки не обнаружены” если ỹf(D) или сигнал “при передаче ошибки были, но были исправлены” в противном случае. Во втором случае декодер может даже сопроводить оценку сообщения некоторой количественной характеристикой, отражающей качество канала, например, расстоянием Хэмминга между последовательностямиỹиf() - числом позиций, в которых эти последовательности отличаются. Такая характеристика будет количественной мерой достоверности принятого сообщения.

Нужно обратить внимание на то, что является только оценкой и может всегда с ненулевой вероятностью отличаться от переданной последовательности даже в тех случаях, когда декодер сообщает об отсутствии ошибок или об обнаруженных, но исправленных ошибках. В этом случае получатель получит искаженное сообщение.

Приведем классификацию событий, которые могут иметь место в рассматриваемой системе связи:

1) Ошибок нет (ỹ=y), у получателя неискаженное сообщение (=x).

2) Ошибки есть (ỹy), декодер нашел единственную последовательность , удовлетворяющую правилу приема и =x, у получателя неискаженное сообщение.

3) Ошибки есть и существует несколько последовательностей, удовлетворяющих правилу приема - у получателя признак обнаружимой, но не исправимой ошибки.

4) Ошибки есть и обнаружены декодером так как ỹf(D), декодер нашел единственную последовательность , удовлетворяющую правилу приема, но x- у получателя искаженное сообщение, но сопровождаемое сигналом недостоверности (если такая возможность реализована в системе).

5) Ошибки есть, но принятая из канала последовательность является допустимой - у получателя искаженное сообщение без признаков недостоверности: ỹy,ỹf(D).

Обычно выделяют два типа систем защиты от ошибок: с исправлением или только с обнаружением ошибок.

Если используется исправление ошибок, то:

• Правильному приему соответствуют события 1 и 2.

• Отказу от приема соответствует событие 3

• Неправильному приему соответствуют события 4 и 5.

Если используется только обнаружение ошибок, то

• Правильному приему соответствуют событие 1.

• Отказу от приема соответствуют события 2, 3 и 4.

• Неправильному приему соответствует событие 5.

Наиболее часто считают, что чем меньше ошибок в канале (число символов 1 в последовательности e) тем такая ситуация является более вероятной. К такому заключению приводит, например, предположение о том, что в канале с вероятностьюpсимвол 0 трансформируется в символ 1 или символ 1 трансформируется в символ 0 независимо от положения символа в последовательности и значений остальных символов (двоичный симметричный канал). Тогда вероятность появления последовательности ошибокeдлинойLопределяется только числом символов 1 в ней:

.

где - вес последовательности. В таком случае правило для декодирующего устройства будет иметь следующий вид:

или

Таким образом, декодер минимизирует вес оценки последовательности ошибок ê=ỹ+. Можно также сказать, что в качестве оценкипередаваемой по каналу последовательности выбирается ближайшая по расстоянию Хэмминга от полученной из канала последовательностиỹдопустимая (принадлежащаяf(D)) последовательность:

В нашем курсе мы не будем рассматривать модели каналов, которые приводят к другим оптимальным правилам приема дискретных сообщений.

Рассмотрим теперь процедуру кодирования - реализации функции f в кодере. Обычно это устройство обрабатывает входную последовательность порциями (блоками) символов и порциями символов (блоками) выдает выходную последовательность. Если результат обработки каждого блока зависит только от символов, входящих в этот блок, и не зависит от обработанных ранее блоков, код называется блоковым. Наоборот, если такая зависимость есть, код называется непрерывным.

Характеристиками двоичного блокового кода являются размеры входных kи выходныхnблоков. Такой код называется двоичным (k,n) кодом. Входом является двоичные вектора размерностиk(элементыV^k), а выходом - двоичные вектора размерностиn(элементыVⁿ).V={0,1}. Обычно допустимыми сообщениями являются все возможные вектора (D=V^k).

Обратите внимание, что на каждое из множеств V^kиVⁿс операциями поэлементного исключающего или образует алгебраические группыV^k,+иVⁿ,+, являющиеся степенными расширениями двухэлементной группыV,, а. ОбозначимA=Vⁿ. МножествоB=f(V^k)Aназывается множеством допустимых кодовых комбинаций. Код называется групповым, еслиB,+- подгруппаA,+. “Сумма” любых допустимых кодовых слов также является допустимым кодовым словом в групповом коде.

Условие обратимости функции fпроще всего выполнить, если всеkсимволов из входного блока копируются в выходной, а остальныеn-kсимволов выходного блока вычисляются по входнымkсимволам. Такой код называется систематическим. Структура такого кодера показана на рис. 5.

Рис. 5.

Такой код однозначно задается набором n-kфункцийkдвоичных аргументов. Вычисляемые символы называются проверочными символами блока.