Тема 6. Специальные виды бинарных отношений: отношения порядка. Отрезки. Диаграммы Хассе.

Введём еще одно определяющее свойство бинарных отношений: антисимметричность.Отношение называют антисимметричным, если в его составе нет одновременно пар вида(x,y)и(y,x)для различных(не равных)xиy. Пары вида (x, x) допускаются. Алгебраически это условие дляAAвыглядит так:

  ^-1 _A

Полагая _A = {(x, y) | xA & yA & x=y}, эту формулу можно прочесть как:

(x,y)& (y,x)(x=y)

Отношение одновременно рефлексивное, антисимметричное и транзитивное называется отношением порядка.

 – порядок (_A) & (^-1 _A) & ().

Примером отношения порядка может быть рассмотренное ранее отношение

 = { (x, y) | x≤y} = { (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3) }

Транзитивность здесь проявляется, например, в том, что 1≤2 & 2≤31≤3. Антисимметричность заключается в однонаправленных связях между различными элементами.

Важным свойством для графов отношения порядка является отсутствие циклов. Если в графе транзитивного отношения есть цикл, отличный от петли в вершине, то отношение уже не может быть антисимметричным. Это поясняется следующим рисунком:

Допустим, есть цикл 12341. По транзитивности для перехода за два шага 234 должен быть и переход за один шаг 24. Виден переход за два шага 124. Тогда должен быть переход за один шаг 14. Но это противоречит антисимметричности, так как переход 41 тоже есть.

Данный пример основывается на том, что если некоторое отношение является транзитивным, то и любая степень, и отношение достижимостицеликом содержаться в самом:

²kℕ ^k

Для доказательства этого утверждения потребуется воспользоваться принципом индукции, так как степени определены рекуррентно:

База индукции: ¹(по определению¹=¹).

Индукционный переход: Предположим ^k. Покажем^k+1.

Сначала покажем, что pqr (pr qr ) :

(x,y)pr z ((x,z)p & (z,y)r)z ((x,z)q & (z,y)r)(x,y)qr

Переход возможен, так как pq((x,z)p (x,z)q).

Теперь, на основании доказанного, видим, что ^k^k  .

Но ^k=^k+1 & =² & ²^k+1.

Отношения прядка в определённом смысле похожи на отношение ≤между числами. Рассматриваемые далее свойства легче воспринять, если для отношений порядка использовать инфиксную запись. Обычно для этих целей используется символ≼_. Далее будем использовать его как синоним для= { (x,y) | x≼_y}.

Отношения порядка разделяются на два типа по следующему признаку. Назовём элементы xиyсравнимыми по, если хотя бы одна пара, (x,y) или (y,x) присутствует в данном отношении. Это новое бинарное отношение сравнимости обозначим инфиксным символом≶_:

x≶_y (x≼_y)(y≼_x)

Иначе будем записывать

x≸_y (x≶_y) (x≼_y) &(y≼_x)

Такие элементы называют несравнимымипо.

Отношения порядка , где все элементы сравнимы, называют линейным порядком (на некотором множестве А).

 – линейный порядок на AxA yAx≶_y

Отношения порядка , где существует хотя бы одна пара несравнимых элементов, называют частичным порядком (на некотором множестве А).

 – частичный порядок на AxA yAx≸_y

Приведём пример частичного порядка на AA, A=ℬℬ. Рассмотрим отношение между парами двоичных символов (двоичными векторами размерности 2):

(x₁, x₂)≼(y₁, y₂)((x₁→y₁) & (x₂→y₂))

Всего есть 4 пары: 00, 01, 10, 11 (для удобства записи скобки вокруг пар опущены). Отношение установлено между следующими парами:

00≼00, 00≼01, 00≼10, 00≼11, 01≼01, 01≼11, 10≼10, 10≼11, 11≼11.

Графическое представление этого отношения будет таким:

Здесь все определяющие свойства для отношения порядка выполняются. Но пары 01 и 10 не являются сравнимыми. Ни одна из них не упорядочена по отношению к другой.

Так же, как отношение эквивалентности однозначно определяется своим семейством классов эквивалентности (разбиением множества), так и для отношений порядка существует более простая форма представления, чем полное перечисление всех упорядоченных пар.

Назовем множество

[a, b]_ = { x | a≼_x & x≼_b}

отрезком(сегментом), выделяемымграницамиaиbпо отношению. Это определение аналогично тому, как на числовой прямой определяются отрезки (закрытые интервалы):a≤x≤b. Но теперь в качестве отношенияберётся произвольное отношение порядка (не обязательно линейного). Элементы отрезка [a, b]_отличные отaиbназываются внутренними точками отрезка. В примере пары 01 и 10 – внутренние точки отрезка [00, 11]_≼.

Справедливы следующие свойства отрезков по отношениям порядка:

1. Если границы упорядочены по рассматриваемому отношению, то отрезок не является пустым.

a≼_b [a, b]_

Действительно, a≼_b a[a, b]_так какa≼_a & a≼_b[a, b]_.a≼_aследует из рефлексивности.

Аналогично заметим, что и вторая граница тоже принадлежит отрезку:

a≼_b & b≼_b  b[a, b]_

Отсюда получаем следующее свойство:

2. Если границы упорядочены по рассматриваемому отношению, то обе границы принадлежат отрезку.

a≼_b a[a, b]_ & b[a, b]_

Отрезок называется простым отрезком, если он содержит только свои границы (не имеет внутренних точек).

[a, b]_ – простой отрезок[a, b]_ = {a, b}

Петля тоже является простым отрезком (по рефлексивности и отсутствию циклов): [a, а]_ = {a}.

Построим по отношению порядка новое отношение, отражающее свойство «быть концами простого отрезка» и исключим из него петли:

_= { (a, b) | [a, b]_ = {a, b}} \ _A = { (a, b) | [a, b]_ = {a, b} & (ab)}

В примере для отношения ≼ простыми отрезками, но не петлями будут [00, 01]_≼, [00, 10]_≼, [01, 11]_≼, [10, 11]_≼. Соответственно,_≼={(00, 01), (00, 10), (01, 11), (10, 11)}.

Граф _≼показан на рисунке.

Граф отношения «быть концами простого отрезка» (без петель) называют диаграммой Хассе. Это отношение однозначно определяет представляемое им отношение порядка. Упорядоченность попредставляет собой достижимость по_. Для восстановленияпо_следует использовать формулу

Диаграмма Хассе также не должна иметь циклов, так как получаемое по ней отношение достижимости является транзитивным. Вообще всегда имеет место свойство . То есть достижимость любого бинарного отношения транзитивна.

Диаграмма Хассе для отношения линейного порядка представляет собой цепь связей между разветвлений и слияний. Потому все отношения линейного порядка на конечных множествах подобны (для любого числа элементов есть только один класс линейного порядка).