3.2.2. Электрическая емкость

Заряженные макроскопические тела создают в пространстве электрические поля. Но эти поля могут быть различными в зависимости от характера распределения зарядов в объеме или на поверхности тел. Другими словами, электрическое поле зависит от формы и природы заряженного тела: различные тела, будучи заряжены одинаково, создадут вокруг себя совершенно разные электрические поля. Способность макроскопического тела, будучи заряженным, создавать в пространстве электрическое поле, характеризуется электрической емкостью, определяемой как коэффициент пропорциональности между зарядом, сообщаемым телу, и потенциалом поля на его поверхности

Здесь через U мы обозначили потенциал поля на поверхности тела ϕ(0), считая потенциал поля на бесконечности равным нулю:

U = ϕ(0) – ϕ(∞) = ϕ(0).

Единицей емкости служит фарада — емкость такого тела, потенциал поля которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл. Для примера, вычислим электрическую емкость сферы радиусом R.

Потенциал на поверхности сферы можно найти исходя из общей формулы (3.14), учитывая, что поле обладает центральной симметрией:

Напряженность E (r) можно вычислить по теореме Гаусса:

Подставляя (3.31) в (3.30) и производя интегрирование, получаем:

139

Учтя, что 4πε0 имеет величину порядка 10–10, из формулы (3.33) видим, что емкостью в одну фараду обладает шар размером 1010 м, то есть одна фарада - это очень большая величина. Емкости, обычно используемые в электрических схемах, во много раз меньше.

Емкостью тела называют отношение заряда, сообщаемого телу,

Из формулы (3.28) следует, что емкость плоского воздушного

Обратим внимание на то, что формула (3.35) является приближенной — при ее выводе мы пользовались выражением для напряженности поля бесконечной плоскости. Этим выражением можно пользоваться, если расстояние d между пластинами мало по сравнению с линейными размерами пластин. При этом условии можно не учитывать искажения поля вблизи краев пластин.

3.2.3. Энергия системы зарядов

Энергия системы зарядов представляет собой потенциальную энергию взаимодействия в электрическом поле, создаваемом остальными зарядами. Энергию отдельного заряда можно записать в виде:

W = qϕ(r),

здесь ϕ(r) — потенциал поля в точке, где находится заряд. Рассмотрим плоский конденсатор. Поскольку поле в любой точке пространства формируется всеми имеющимися зарядами, энергию их взаимодействия можно записать в любой из следую-

140

щих форм:

жений. Электростатическая система представляет собой совокупность электрических зарядов, находящихся в созданном ими электрическом поле. Энергия покоящихся зарядов заключена в энергии их взаимодействия друг с другом посредством поля. Подчеркнем, что для создания этого поля не требуется совершения какой-либо дополнительной работы.

Вместе с тем, для создания самой электростатической системы зарядов требуется совершать вполне определенную работу против сил поля, создаваемого этой системой. Так, для того чтобы зарядить конденсатор, на его пластины нужно поместить заряд Q и тем самым создать в нем электрическое поле с разностью потенциалов U = Q/C. При разряде конденсатора, наоборот, именно эта разность потенциалов совершает работу над зарядом. Работа по перемещению бесконечно малого заряда dQ равна

dA =UdQ = QC dQ .

Полная работа, производимая над зарядом электрическим полем, запасенным в конденсаторе, равна

и совпадает с (3.38).

141