то процесс будет обратимым. При этом каждая из частиц системы вовсе не вернется в свое исходное состояние, важно только, что средние, равновесные характеристики системы примут свои начальные значения, а это происходит при обратимом процессе благодаря неразличимости или тождественности частиц системы.
2.2.7. Неравновесные процессы
Вследствие необратимости термодинамических процессов все процессы в изолированной системе протекают лишь в одном направлении — в направлении приближения системы к состоянию теплового равновесия. Будучи выведена из состояния равновесия, система переходит в новое состояние равновесия спустя некоторое время — время релаксации. Оно зависит от температуры, давления, плотности системы, а также от характера взаимодействия между частицами. Переход системы к равновесному состоянию представляет собой необратимый процесс, поскольку вероятность самопроизвольного перехода равновесной системы в неравновесное состояние ничтожно мала.
Рассмотрим некоторые механизмы неравновесной релаксации системы к состоянию равновесия. Прежде всего, введем понятие длины свободного пробега молекул. Индивидуальные особенности движения отдельных молекул не играют роли в системе большого
числа частиц, поэтому под длиной свободного пробега понимают
среднюю длину пути молекулы в газе между столкновениями. Поскольку столкновения носят случайный характер, длина свободно-
го пробега имеет вероятностный смысл: величина тем меньше,
чем больше вероятность столкновения молекул. В свою очередь, вероятность столкновения молекул определяется их плотностью и размерами молекул. Наряду с длиной свободного пробега другой важной характеристикой является среднее время свободного про-
бега
t = /v, |
(2.46) |
где v — средняя скорость теплового движения молекул. Обе введенные здесь величины в существенной степени определяют
103
скорость релаксационного процесса.
Механизм процесса релаксации состоит в том, что при выведении системы из состояния равновесия в газе возникает поток соответствующей величины: тепла, массы, концентрации частиц в зависимости от того, каким способом система была выведена из состояния равновесия. При приближении системы к равновесию этот поток исчезает, перераспределяясь по всей системе.
Определим поток произвольной физической величины как изменение этой величины в единицу времени в какой-либо точке пространства
i = − ∆∆Gt ,
(2.47)
где ΔG — разность значения величины G в соседние моменты времени. Знак минус означает, что направление потока противоположно направлению возрастания величины. Само по себе изменение величины G не зависит от времени явно, а связано с ее неоднородным распределением в пространстве, например,
вдоль оси X (см. рис.). Поэтому перепишем выражение для потока
в виде:i = − ∆∆Gt = − ∆∆Gx ∆∆xt = −v ∆∆Gx .
При получении формулы для полного потока это выражение нужно умножить на число частиц — носителей величины G, которые в состоянии пересечь в единицу времени единичную площадку, перпендикулярную оси X. Число таких частиц равно числу частиц, движущихся параллельно оси X и отстоящих от указанной
площадки на расстояние, не большее длины свободного пробега , т. е. заключенных в объеме, основание которого единица, а длина равна 2 . Число частиц в единице объема» движущихся в направ-
104
лении оси X, равно n/6 и (ввиду равновероятности движения в любом из возможных шести направлений). Полный поток величины G равен
I = |
1 n 2 i = − |
nv |
|
∆G |
. |
(2.48) |
|
|
|
||||
|
6 |
3 ∆x |
|
|||
Величина ∆G представляет собой градиент G в направлении
∆x
оси X. Таким образом, если в системе имеется неоднородное распределение какой-либо физической величины, то возникает поток этой величины, обусловленный столкновением частиц и пропор-
циональный ее rwl градиенту. Величина nv /3 коэффициент пере-
носа.
Рассмотрим конкретные процессы переноса. Теплопроводность. Пусть системе сообщено некоторое коли-
чество тепла. При этом некоторая часть системы оказывается более нагретой, откуда тепло посредством столкновений распространяется по всему объему, т. е. возникает поток тепла. Переносимая физическая величина в этом случае — тепло, значит G = Q. Поскольку количество тепла характеризуется температурой Q = CVT , где СV — теплоемкость вещества, то, подставляя вместо G в об-
щую формулу (2.48) это выражение, получим: IQ = − nv3 CV ∆∆Tx . Следовательно, поток тепла пропорционален градиенту температуры. Величина χ = nv 3CV - коэффициент теплопроводности.
Диффузия. Если в систему добавляется некоторое количество частиц того или другого сорта, то в объеме возникает неоднородное распределение концентрации этих частиц и в силу указанных причин возникает поток концентрации этих частиц. Роль величины G играет относительная концентрация добавленных частиц G = n'/n. Процесс выравнивания концентраций, обусловленный механизмом столкновений, называется диффузией. Выражение для диффузионного потока, согласно (2.48), принимает вид:
105
In = − |
1 v |
∆n′ |
, |
(2.50) |
|
∆x |
|||||
|
3 |
|
|
где коэффициент между потоком и градиентом концентрации представляет собой коэффициент диффузии D = v /3.
Вязкость. Предположим, что нам удалось механическим или иным способом сообщить механический импульс какой-либо части нашей системы. Тем самым в системе создается направленный поток частиц и распределение импульса частиц в плоскости, перпендикулярной потоку, становится неоднородным. Благодаря столкновениям частиц, происходит передача импульса направленного движения окружающим частицам, в результате чего возникает перераспределение переданного импульса. Этот процесс, который можно рассматривать как диффузию в пространстве импульсов, называется вязкостью, или внутренним трением. Переносимой величиной является импульс частицы, который мы обозначим здесь через mu; u обозначает здесь направленную скорость частиц в отличие от тепловой скорости. Поток импульса
I p = − |
mnv |
∆u |
, |
(2.51) |
|
||||
|
3 ∆x |
|
|
|
а коэффициент вязкости среды kv = mvn /3 = ρv /3.
2.2.8. Тепловые машины
Термодинамика как наука развилась в начале XIX века из необходимости объяснить работу тепловых машин. Термодинамические расчеты необходимы при конструировании любых машин, способных производить работу. Тепловой машиной называется устройство, использующее тепловую энергию для совершения механической работы. В этом смысле и паровой двигатель, и атомный реактор эквивалентны.
Тепловая машина состоит из нагревателя, рабочего тела и охладителя рабочего тела. Охладителем, в конечном счете, служит окружающая среда. Тепловая машина работает по принципу замкнутого цикла, совершая круговой процесс. В ходе прямого цикла рабочее тело, например, пар, получив от нагревателя количество те-
106
пла Q1, расширяется от объема V1 до объема V3. Согласно первому закону термодинамики, это тепло расходуется на нагревание рабочего тела и на совершение механической работы
Q1 = E2 - E1 + A13, (2.52)
где E2 - E1 — изменение внутренней энергии рабочего тела при переходе из состояния 1 в состояние 3. При обратном цикле над газом производится работа: газ сжимается и передает охладителю количество тепла
- Q2 = E1 - E2 + A31. |
(2.53) |
Складывая оба уравнения, получим Q1 - Q2 = A13 + A31 =A, где А
— полная работа, совершенная машиной за один цикл. Отношение полезной работы, совершенной машиной, к количе-
ству полученного тепла составляет КПД тепловой машины
η = Q1 −Q2 |
= |
A |
. |
(2.54) |
|
||||
Q |
|
Q |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
Понятно, что КПД машины всегда меньше единицы, поскольку не все количество полученного тепла переходит в полезную работу.
В реальных тепловых машинах КПД, очевидно, еще меньше, так как часть тепла теряется безвозвратно в процессе работы машины. Для получения максимального КПД следует рассмотреть рабочий цикл, образованный обратимыми процессами. Этому требованию отвечает цикл (см. рис.), впервые рассмотренный французским уче-
ным Карно. В качестве рабочего тела в цикле Карно рассматривается идеальный газ. Цикл Карно состоит из последовательных расширения и сжатия газа, причем каждый из процессов совершается сначала изотермически, а затем адиабатически. При прямом цикле тело по-прежнему сначала получает тепло, а затем отдает его. Достоинство цикла Карно состоит в том, что все процессы обратимы, и, следовательно, КПД такой машины будет максимальным.
107
Пусть газ расширяется изотермически, переходя из состояния 1 в состояние 2. При изотермическом процессе внутренняя энергия газа не изменяется, и количество полученного тепла Q1 равно работе А12. По формуле (2.38):
Q =νRT lnV2 . |
(2.55) |
||
1 |
1 |
V1 |
|
|
|
|
|
На участке 2-3 газ расширяется адиабатически. На участке 3-4 он сжимается опять изотермически, для чего охладителю должно быть отдано тепло Q2. Работа на участке 3-4 равна - Q2, причем
−Q |
2 |
= A |
=νRT |
lnV4 . |
(2.56) |
|
34 |
2 |
V3 |
|
|
|
|
|
|
|
Наконец, на участке 4-1 газ адиабатически сжимается, возвращаясь к исходному состоянию. Воспользуемся уравнением адиабаты (2.42), заменив в нем, согласно уравнению состояния PV , на ν·RT. Уравнение адиабаты принимает вид:
TV γ-1 = const. (2.57)
Для процессов 2-3 и 4-1 цикла Карно отсюда следует:
T V γ −1 |
= T V γ −1 |
; |
T V γ −1 |
= T V γ −1 . |
||||
1 |
2 |
2 |
3 |
|
1 |
1 |
2 |
4 |
Разделив первое уравнение на второе, получим V2/V1 = V3/V4. После подстановки этого выражения в (2.56) найдем:
Q |
−Q |
2 |
=νR(T |
−T )lnV2 . |
(2.58) |
|
1 |
|
1 |
2 |
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (2.58) в формулу (2.54), получим выражение для КПД цикла Карно:
η = Q1 −Q2 |
= T1 −T2 . |
(2.59) |
Q |
T |
|
1 |
1 |
|
Из формулы (2.59) следует, что КПД тепловой машины определяется только разностью температур нагревателя и холодильника. КПД не зависит ни от свойств рабочего тела, используемого в машине, ни от свойств самой машины. Полученный результат показывает, что при T1 = T2 КПД машины равен нулю, т. е. машина не совершает работы. Работа максимальна (η = 1) при T2 = 0. Таким образом, машина тем выгоднее, чем ниже температура охладителя.
108