координат. Скорость V имеет смысл скорости движения механической системы как целого с отличным от нуля импульсом. Связь между импульсом P и скоростью V системы как целого такая же, какая была бы между импульсом и скоростью одной материальной
точки с массой, равной сумме масс в системе, M = ∑mα . Правая сторона формулы (1.71) может быть представлена как
полная производная по времени от выражения: |
|
||
|
∑mα rα |
|
(1.72) |
R = |
|
∑mα |
|
|
|
|
|
Можно сказать, что скорость V системы как целого есть скорость перемещения в пространстве точки, радиус-вектор которой дается формулой (1.72). Такая точка является центром инерции системы.
Закон сохранения импульса замкнутой системы можно сформулировать как утверждение о том, что ее центр инерции движется прямолинейно и равномерно. Это есть обобщение закона инерции для свободной материальной точки.
Энергию покоящейся как целое механической системы обычно называют ее внутренней энергией Eвн. Она состоит из кинетической энергии движения частиц относительно друг друга и потенциальной энергии их взаимодействия. Полная же энергия системы, движущейся как целое со скоростью V,
E = |
MV 2 |
+ Eвн |
(1.73) |
|
2 |
||||
|
|
|
1.9. Момент импульса. Момент силы
Мы видели, что механические свойства замкнутой системы не изменяются при ее параллельном переносе в пространстве. Это свойство является следствием однородности пространства, то есть отсутствием каких-либо выделенных точек пространства, физические свойства системы не должны изменяться также и при ее поворотах в пространстве, ввиду отсутствия в пространстве выделенных направлений, что означает изотропность пространства. Оказывается, что неизменность физических свойств системы при
33
ее поворотах в пространстве также приводит к сохранению некоторой новой механической величины — момента импульса системы.
Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц, на которую действуют также внешние силы. Уравнения движения частиц имеют вид:
|
|
= F |
+ F , |
m |
|
= F |
+ F |
1.74 |
m v |
v |
|||||||
1 |
1 |
12 |
1 |
2 |
2 |
21 |
2 |
|
Умножим первое уравнение векторно слева на r1, а второе на r2.
m |
|
|
|
|
×F |
|
|
|
|
|
|
(r |
×v |
) = r |
+ r F |
|
|
||||||
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
12 |
|
1 |
1 |
1.75 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(r |
×v |
|
) = r |
|
×F |
|
+ r F |
|
|||
2 |
2 |
2 |
2 |
21 |
2 |
|
2 |
|
|||
Поскольку dtd (r ×v) = r ×v + r ×v = r ×v ,
и т.к. r ×v = v ×v = 0 и F12 = - F21,
получим
d |
(r |
× P ) = r |
× F |
+ r |
× F |
|
||||
dt |
|
|||||||||
1 |
1 |
1 |
|
12 |
|
1 |
|
1 |
1.76. |
|
d |
|
× P |
) = −r |
× F |
+ r |
× F |
||||
(r |
|
|||||||||
dt |
|
|||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
12 |
|
2 |
2 |
|
|
Сложим полученные уравнения:
dtd (r1 × P1 + r1 × P1 ) = [(r1 − r2 ) × F12 ]+ r1 × F1 + r2 × F2 .
Векторы r1 - r2 и F12 коллениарны, поэтому |
|
||||||||||
|
d |
(r |
× P |
+ r |
× P ) = r |
× F |
+ r |
× F . |
1.77. |
||
|
dt |
||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
Если система замкнута F=0 |
и |
r ×P +r |
×P |
= const . Еще од- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
на сохраняющаяся величина, которую называют моментом им- |
|||||||||||
пульса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.78 |
||
|
|
|
|
|
M = r × P |
|
|
|
|||
34
Примеры:
Момент импульса материальной точки, движущейся по прямой, относительно оси О. Направление момента перпендикулярно плоскости рисунка, а его модуль равен:
M = mv
Момент импульса точки, движущейся по окружности. Направление момента перпендикулярно плоскости окружности, а модуль:
M = mvr
Моментом силы называют
N = r ×F |
1.79 |
Момент силы. относительно точки О.
Из рисунка видно, что модуль момента силы равен:
35