Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика типовик 3 модуль

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.03.2016

Размер:

2.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

		+∞ ln		.
Пример 2.	Найдите значение несобственного интеграла	∫1
			3
Решение:	По определению несобственного интеграла имеем

+∞

∫

ln			ln		= ln	= −3
	=	lim ∫		= [			1	] =
3			3		=	= −
		→+∞ 1
							2 2

	ln		1							ln									1
= lim (−		\| +		∫			) =		lim (−			) +			lim (−					)\|
	2 2		2			2				2 2									4
→+∞		1		1					→+∞					→+∞						1
	=	lim (−				1		) + lim ((−			1		) +			1	) =	1
					4										4			4
	→+∞								→+∞		4

Для нахождения значения исходного интеграла мы применили формулу

интегрирования по частям ∫	= \|			− ∫	, а также воспользовались

правилом Лопиталя для отыскания предела				lim		(−	ln	) .
правилом Лопиталя для отыскания предела				lim		(−		) .
				→+∞			2 2
Пример 3. Найдите значение несобственного интеграла
	+∞
∫

		( 2	+ 1)( 2 +		4)
−∞		( 2	+ 1)( 2 +		4)
−∞

Решение: Подынтегральная функция чётная, поэтому можно воспользоваться свойством несобственных интегралов по симметричному промежутку от чётных функций

			+∞													+∞
		∫												= 2 ∫

						( 2		+ 1)( 2 + 4)											( 2 + 1)( 2 + 4)
		−∞														0
											2	+∞									+∞
								=				(∫					− ∫							) =
								=			3	(∫		2 + 1			− ∫					2 + 4		) =
												0						0
	2
=	2	lim (∫						− ∫					)
=	3	lim (∫	2 + 1					− ∫			2 + 4		)
	3	→+∞ 0	2 + 1					0			2 + 4
			2												2					1					2			1
		=	2		lim (arctan \|0) −										2	lim		(		1	arctan		\| ) =		2	(	−	1		)
		=	3		lim (arctan \|0) −											lim		(			arctan		\| ) =		3	(	−	2	2	)
			3	→+∞										3		→+∞		2				2 0			3	2		2	2
			2
		=					=			.
		=	3			4	=		6	.

Б. Значения несобственных интегралов от неограниченных в окрестности некоторой точки функций также определяются посредством предельного перехода.

Если функция ( ) непрерывна на ( , ] и lim ( ) = ±∞, то

→ +0


∫ ( ) = lim ∫			( ) , ( > 0).
	→0	+
		+
Если функция ( ) непрерывна на [ , ) и				lim ( ) = ±∞, то
				→ −0
		−
∫ ( ) = lim ∫				( ) , ( > 0).
	→0

Если функция ( ) непрерывна на отрезке [ , ] всюду, за исключением точки( , ), и хотя бы один из односторонних пределов функции ( ) в этой точке бесконечен, то

∫( ) = ∫ ( ) + ∫ ( ) .

Несобственный интеграл называют сходящимся, если его значение существует и конечно, и расходящимся в противном случае.

Пример 1. Найдите значение несобственного интеграла или установите его расходимость.

∫−1

Решение:

Функция

f (x)

непрерывна при 1 x 0 и 0 x 2 и имеет

бесконечные односторонние пределы в точке x 0 . Тогда

lim0

lim ln

lim

limln lim ln 2 ln

Несобственные

интегралы

расходятся,

значит, расходится и

исходный интеграл.

Пример 2. Найдите значение несобственного интеграла.

dx x(1 x)

Решение: Функция ( ) = √ (1− ) непрерывна при 0 < < 1 и имеет бесконечные односторонние пределы (0 + 0) = (1 − 0) = +∞. Тогда, чтобы упростить запись решения, заменим сумму двух пределов одним пределом с двумя условиями → 0 и → 0 ( > 0, > 0).

1−

∫

= lim ∫

0 √ (1 − )

→0

√ (1 − )

→0

√1

→0

− ( −

= lim(arcsin(2 − 1)|1− )

→0

= lim arcsin(2 − 2 − 1) − lim arcsin(2 − 1) = .

→0

.→0

Часть 2. ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Проинтегрируйте методом внесения под знак дифференциала.

1.	sin x dx		16.	(1 ctg3 x) dx
		cos x
	2			sin	2	x

2.	x
2.			2		3 x			3	dx
					3 x				dx
3.		arcsin				3	x
						3
								dx


				1 x2

4.(ln ln x)3 dx

xln x

xdx

cos2 (2x2 1)

2 x4

e3 x dx

1 e6 x

(4x 1) dx

3cos x

sin xdx

10.

e 3

1 dx

11. 10 ln2 x dx x

17.		(3x 3 x )dx
			3x 3 x
18.		(arccos x 1)dx


				1 x2
19.		5 32 x				3			dx
		5				x
		5
20.		2 arcctg							2 x	dx

				1 x				2
				1 x
21.							dx
											2
					2						2
		1 x				arccos						x
22.		etgx 2					dx
		cos2 x					dx
23.	e2sin x cos xdx
24.
24.		e 2 x 1dx

			2x 1

25.x2 2x 1 e x3 3x2 3x 4dx

26.14 sin 13 dx

xx 8

12.

27.

ln(2x 5) 1

x 1 ln x

x 2,5

13.

28.

sin x

arctg

2 3cos x

14.

cos x

29.

(3x 1) dx

1 2sin x

3 x2

15.

ectgx 1

30.

x3 ln(x 4 1) dx

sin2 x

x4 1

Задание 2. Найдите интеграл от тригонометрической функции:

1.	sin		4			3x								16.	sin			2	x
									dx												3 dx
					2

																			4
2.	sin3x cos x dx													17.	cos 4x cos5x dx
3.	sin5				2x cos 2x dx									18.		sin3 (x 1)
																cos2 (x 1)						dx
	3									sin 2x dx					sin2 3x cos2 3x dx
4.		cos 2x												19.
5.	sin			x			sin				2x		dx	20.	sin x sin 6x dx

			3								3
						x						x			3					cos x dx
6.	sin4							cos					dx	21.			sin x

					2						2

7.	sin			3 4x			dx
	sin					5	dx
						5
8.	cos x cos3x dx
9.		cos5x							dx
9.
		4
		4	sin5x
10.	cos				2	x
10.								1 dx
								1 dx
						2
11.	sin3x cos 2x dx

12. cos3 2x dx sin2 2x

13.cos3 2x dx

14.sin 7x sin5x dx

15.sin5 x cos3 x dx

Задание 3. Найдите интеграл:

1.	(3x 2)dx

	2x2 4x 16
2.		(x 2)dx


		3x2 6x 4

22.sin2 (2x 1) cos2 (2x 1) dx

23.sin 2x cos 52x dx

24.cos3 6x sin2 6x dx

25.cos5 x sin x dx

26.cos 4x cos 8x dx

27.sin 5x cos 35x dx

28.sin3 5x cos3 5x dx

29.cos4 2x dx

30.cos4 x sin2 x dx

16.	(4x 1)dx


	9x2 3x 2
17.	(2x 5)dx
		2
	4 2x 2x

(7x 5)dx

18.

(3x 2)dx

3 2x x2

4x2 2x 3

(2x 3)dx

19.

(3 x)dx

x2 5x 2

1 6x 7x2

(2 3x)dx

20.

(5 x) dx

2x2 2x 1

3 2x 5x2

(5x 1)dx

21.

(1 3x)dx

4x2 x 3

1 x 2x2

(7 3x)dx

22.

(2 x)dx

x2 4x 2

3x2 2x 5

(2 x)dx

23.

(2x 1)dx

4 6x 4x

7x 3 2x

(1 6x)dx

24.

(7x 6)dx

5x2 x 6

x2 4x 2

10.

(2 3x) dx

25.

(3x 1)dx

6x2 2x 1

x2 x 2

11.

(6x 1)dx

26.

(x 1)dx

3x2 4x 2

2 5x 3x2

12.

(4x 1)dx

27.

(2x 5)dx

4 x 3x2

3 x 2x2

13.

(4x 3)dx

28.

(5 x)dx

3x2 2x 1

2x2 x 6

14.

(4 x)dx

29.

(x 4)dx

1 3x 4x

1 4x 5x

15.	(3 x)dx	30.	(6x 1)dx

	3x2 6x 4

			2 3x 2x2

Задание 4. Найдите интеграл от дробно-рациональной функции:

(2x3 3x 2 3) dx

16.

x(x 1) dx

(x 2)2 (x2 3x 5)

(x 1)2 (x 2 2x 5)

(x 4 x 1) dx

17.

(x3

7x 2

5x 10) dx

(x 1)3 (x 2 2)

x3 (x 2 5)

(x4 3x3 x2

5x 2) dx

18.

(4x4 5x2

21x 10) dx

(x 1)(x4 1)

x2 (x 2)(x2 2x 5)

(x 2 8x 22) dx

19.

(x2 10x 1) dx

(x 2)2 (x 2 x 3)

(x 1)2 (x2 2x 5)

2(x 2 2x 4) dx

20.

(x3 4x2 6x 2) dx

x3 (x 2 4)

x2 (x 1)(x2 2x 2)

x4 4x2 2x 1

21.

(x4 23x2

32x 18) dx

(x 1)(x4 1)

x(x 3)2 (x2 2x 2)

(x 2 2x3

11) dx

22.

x(x 4) dx

(x 2)2 (x2 3x 8)

(x 1)2 (x 2 4x 5)

(x3 4x2 x 2)dx

23.

(3x3 9x2

8x 1) dx

x (x 1)

(x 2)

2x 3)

(5x3 10x2

8x 15) dx

24.

(2x3 6x2

10x 9) dx

x2 (x 3)(x2

4x 5)

(x 1)2 (x2 3x 5)

10.

(x3 7x 2) dx

25.

(x2 6x 1) dx

(x 1)2 (x 2 2x 5)

(x 1)2 (x2 2x 3)

11.

(x3 6x 2 2x 4) dx

26.

(3x3 7x2 9x 3) dx

x3 (x 2 2)

(x 1)2 (x2 2x 3)

12.

(x4 5x2 9x 4) dx

27.

(x4 8x2 8x 4) dx

x(x 1)2 (x2 2x 2)

x(x 1)2 (x2 4)

13.

(2x3 x 7) dx

28.

(x2 18x 20) dx

(x 1)2 (x 2 x 5)

(x 2)2 (x2 3x 8)

14.

(x3 5x 2 3x 6) dx

29.

(2x3 3x 2 3) dx

x3 (x 2 3)

(x 1)2 (x 2 2x 5)

15.

(8x2 6x3 3x 40) dx

30.

2x(x3 6x 12) dx

x(x 2)2 (x2 4x 5)

(x 2)(x4 16)

Задание 5. Найдите интеграл от иррациональной функции:

16.

6 x 3 1

1 3

2x 1

x 3

17.

x 1

3x 2 10

x 1

3x 2 7

18.

x 1

x 2

x 1 2

(x 2)2

x 1

19.

2 x

x 1

x 6

x 1

20.

4 x

1 x3

x3 7x

64 x3

21.

x 3 x 2

x 3

x 1

x 2

7.
7.	x 2 x
					dx
	3			1
	3	2 x		1
8.
8.			xdx
			xdx


		5x 6

9.1 x 1

1 3x 1dx

10.x

(1 3x )2 dx

11.
11.									2 3 x										dx

		( 6 x 23									x					x) x
		( 6 x 23									x					x) x
12.
12.							x 25										dx
		(x 25)2
		(x 25)2											x 1
13.
13.				6 x
										dx
				x 18						dx
14.
14.			1		6			x 2						3	x
					6									3
																		dx
	x 2										3

									x3						x4
15.
15.		3		x		5 2
		3
												dx
												dx
		1 3				x 5

22.

2x 5 3x 5 4x 5

23.15 x 3

x 3 2 x dx

24.4x 3 1 x 3

25.4 x 3 1

2 4x 3dx

26.x(1 3x)15 dxdx6 5

27.		3x			dx

	1 2x 4 1 2x
	1 2x 4 1 2x
28.	3			4
			dx

4x 1 3x 1 x 1

29.x 1 dx

3 x 1 x 1 3

30.4 x 7

(x 7)2 x 3 dx

Задание 6. Найдите интеграл от иррациональной функции, используя тригонометрические подстановки:


1.	x4		16. x3
		4 x2 dx		9 x2 dx

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.03.201656.32 Кб5Марокко.doc
#
14.04.20154.21 Mб80Мат.основы теории систем.pdf
#
14.04.20153.5 Mб36мат_модели_logistics.pdf
#
22.07.201930.45 Кб1матан.docx
#
14.04.2015857.82 Кб10математика +.pdf
#
21.03.20162.39 Mб38Математика типовик 3 модуль.pdf
#
23.04.2019514.79 Кб16математика ч.2.docx
#
20.03.20162.47 Mб24Математика, Типовик 1 семестр 2 модуль.doc
#
14.07.2019246.56 Кб3Математика. Экзамен 2 курс 1 семестр.rtf
#
14.04.20152.46 Mб99Математический анализ II Курс Лекций.pdf
#
14.04.20157.4 Mб87Математический анализ II Учебное Пособие.pdf