47. Дифференцирование сложных функций нескольких переменных.

Теорема: Пусть  и функции x = x(u, v)Î, y(u, v)Π= x(u₀, v₀), y₀ = y(u₀, v₀).

Тогда f(x(u, v), y(u, v))ÎD(u₀, v₀) и

Доказательство: Рассмотрим разности:

из которых следует, что

f(x(u, v), y(u, v)) - f(x(u₀, v₀), y(u₀, v₀)) = 

Следовательно, по определению дифференцируемости функция двух переменных:

f(x(u, v), y(u, v))ÎD(u₀, v₀) и

Дифференциал функции двух переменных. Свойство инвариантности дифференциала.

Пусть .

Определение: Дифференциал d функции  в точке  называется следующее выражение:

или сокращённо: , где dx и dy – дифференциалы переменных x и y.

Это равенство и выражает свойство инвариантности первого дифференциала.

Частные производные высших порядков. Равенство вторых смешанных производных.

Первые частные производные  и  есть функции от переменных x и y. Назовём по определению вторыми частными производными функции  следующие выражения:

 Теорема: Пусть ,  и  непрерывны в некоторой окрестности точки (x, y), а  и  непрерывны в самой точке (x, y). Тогда в точке (x, y) равенство:

=

48. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

 Касательной плоскостью к поверхности S в данной точке M (x₀, y₀, z₀) называется плоскость, проходящая через точку M и содержащая в себе все касательные, построенные в точке M к всевозможным кривым на этой поверхности, проходящим через точку M.

- ур-е касат. плоск. проход. через (.)

Нормалью к поверхности s в точке M называется прямая, проходящая через точку M и перпендикулярная к касательной плоскости, построенной в этой точке.

уравнение норм. поверхности, проходящей через (.)

49. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума

Определение 1.Говорят, что в некоторой окрестности точки X₀ функция f (x, y) име­ет максимум, если существует x€Ů(x₀,б), что выполняется неравенство f (x) < f (x₀).При этом пишут так: max f(x)=f(x₀).

Определение 2 Говорят, что в некоторой окрестности точки X₀ функция f (x, y) име­ет минимум, если существует x€Ů(x₀,б), что выполняется неравенство f (x) > f (x₀).При этом пишут так: min f(x)=f(x₀).

Th.Необходимые условия экстремума

Если ф-ия f(x)- диф-ма в некоторой (.) x₀ то принадлежит к(x₀-б; x₀₊б) и имеет в этой точке экстремум, то обязательно f’(x₀)=0.

В (.) в которой производная обращается в ноль, в бесконечность или не существуют, могут оказаться (.) экстремума.

Если f(x) диф-ма в некоторой окрестности и производная f’(x) обращается в ноль в (.) x_0, то если при прохождении через (.) x₀ ф-ия меняет знак с плюса на минус, то минимум; если с минуса на плюс - максимум.

50. Дифференциал дуги. Кривизна кривой.

Формулы для дифференциала дуги.

В декартовых координатах:

Определение: Средней кривизной Кср дуги называется отношение соответствующего угла смежности a к длине дуги .

Отметим, что для одной кривой средняя кривизна ее различных частей может быть различной, т.е. данная величина характеризует не кривую целиком, а некоторый ее участок.

Определение: Кривизной дуги в точке КА называется предел средней кривизны при стремлении длины дуги к нулю.

Легко увидеть, что если обозначить = S, то при условии, что угол a - функция, которая зависит от S и дифференцируема, то

Определение: Радиусом кривизны кривой называется величина