- •Вопрос 1 Графики и свойства основных элементарных функций.
- •Вопрос 2 Предел функции в точке
- •Предел функции в бесконечности
- •Вопрос 3.1 основные теоремы о пределах
- •Вопрос 3.2
- •Вопрос 4 Непрерывность функции
- •Вопрос 5 точки разрыва первого и второго урода-рода гг…
- •Вопрос 6 производная и дифференциал
- •Вопрос 7.1 Теорема Ферма
- •Вопрос 7.2 Теорема Роля
- •Вопрос 7.3 Теорема Лагранжа
- •Вопрос 8 Функция нескольких переменных и их непрерывность
- •Дифференциалы высших порядков
- •Свойства дифференциала
- •Вопрос 11 Экстремум функции
- •Необходимое и достаточное условие экстремума
- •Вопрос 12 поиск экстремума функций двух переменных
- •Вопрос 13 Неопределенный интеграл, основные теоремы
- •Свойства неопределенного интеграла:
- •Вопрос 14 Определенный интеграл, основные теоремы
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16 Прямая линия на плоскости, условия перпендикулярности и параллельности двух прямых
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Вопрос 19 Парабола: определение и вывод канонического уравнения
- •Вывод уравнения параболы
- •Вопрос 20 Прямая и плоскость в пространстве
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Вопрос 22 Матрицы и их классификация
- •Вопрос 23 Операции над матрицами
- •Вопрос 24 Определители и их свойства
- •Свойства определителей
- •Теорема (частный случай теоремы Лапласа)
- •Вопрос 25 Определение обратной матрицы
- •Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •Вопрос 26 н-мерное линейное векторное пространство
- •Вопрос 27 Системы векторов, операции над ними
- •Вопрос 28 Ранг матрицы и теорема о ранге матрицы
- •Вопрос 29 линейные операторы и матрицы
- •Вопрос 31 Решение системы линейных уравнений с помощью определителей, метод Крамера
- •Вопрос 32 Решение системы линейных уравнений в матричной форме
- •Вопрос 33 Метод Гаусса
- •Вопрос 34, 35 Сущность и условия применения теории вероятности.
- •Вопрос 35 Основные понятия
- •Вопрос 36 Вероятностное пространство
- •Вопрос 37 Элементы комбинаторики. Соединения
- •Вопрос 39 Теорема сложения вероятностей
- •Вопрос 40 Теорема умножения вероятностей.
- •Вопрос 41 Формула полной вероятности
- •Вопрос 42 Теорема Байеса
- •Вопрос 43 Формула Бернулли
- •Вопрос 44 Случайные величины, способ их описания
- •Вопрос 45 Основные числовые характеристики непрерывной случайной дискретной величины.
- •Вопрос 46 Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Вопрос 47 Биноминальный закон распределения вероятностей случайных величин
- •Вопрос 48 числовые характеристики систем двух случайных величин
- •Зависимость между случайными величинами
Вопрос 3.2
Асимптотой графика функции у =¦( х) называется прямая, обладающая следующим свойством, что расстояние от переменной точки на графике до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.
Теорема 1. Пусть функция у = ¦( х) определена в некоторой окрестности точки х0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х® х0 – 0 (слева) или при х® х0 + 0 (справа) – равен бесконечности, тогда прямая при х = х0 является вертикальной асимптотой графика функции у = ¦( х).
Замечание. Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции у = ¦( х) или на концах ее области определения (а, b) если а и b - конечные числа.
Теорема 2. Пусть функция у = ¦(х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции при х ® ¥ и он равен числу b. Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции у = ¦( х).
Замечание. Если конечен лишь один из пределов слева или справа, то функция имеет лишь левостороннюю или правостороннюю асимптоту.
Теорема 3. Пусть функция у = ¦( х) определена при достаточно больших х и существует конечные пределы
Тогда прямая у = kx + b является наклонной асимптотой. Тогда прямая у = kx + b является наклонной асимптотой.
Вопрос 4 Непрерывность функции
Определение 1. Функция ¦(х) называется непрерывной в точке х0, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
1) определена в точке х0 (т.е. существует ¦(х0));
2) имеет конечный предел функции при х ® х0;
3) этот предел равен значению функции в этой точке , т.е.
Определение 2. Функция у =¦(х) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное двух функций непрерывных в одной и той же точке а, есть функция непрерывная в той же точке, причем в случае частного предполагается, что функция делитель не обращается в нуль при х = а. (Теорема остается верной для суммы и произведения любого конечного числа функций).
Функция у = ¦(х) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Доказано, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.
Вопрос 5 точки разрыва первого и второго урода-рода гг…
Точка х0, в которой функция ¦(х) не является непрерывной называется точкой разрыва.
Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы функции слева или справа при х ® х0, не равные друг другу, либо если они равны между собой, но не равны значению функции в точке х0.
Обозначим
а) в этом случае функция имеет скачок
б) но не равно значению функции в точке х0 , имеем устранимый разрыв.
Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов слева или справа равен бесконечности или не существует.