- •Вопрос 1 Графики и свойства основных элементарных функций.
- •Вопрос 2 Предел функции в точке
- •Предел функции в бесконечности
- •Вопрос 3.1 основные теоремы о пределах
- •Вопрос 3.2
- •Вопрос 4 Непрерывность функции
- •Вопрос 5 точки разрыва первого и второго урода-рода гг…
- •Вопрос 6 производная и дифференциал
- •Вопрос 7.1 Теорема Ферма
- •Вопрос 7.2 Теорема Роля
- •Вопрос 7.3 Теорема Лагранжа
- •Вопрос 8 Функция нескольких переменных и их непрерывность
- •Дифференциалы высших порядков
- •Свойства дифференциала
- •Вопрос 11 Экстремум функции
- •Необходимое и достаточное условие экстремума
- •Вопрос 12 поиск экстремума функций двух переменных
- •Вопрос 13 Неопределенный интеграл, основные теоремы
- •Свойства неопределенного интеграла:
- •Вопрос 14 Определенный интеграл, основные теоремы
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16 Прямая линия на плоскости, условия перпендикулярности и параллельности двух прямых
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Вопрос 19 Парабола: определение и вывод канонического уравнения
- •Вывод уравнения параболы
- •Вопрос 20 Прямая и плоскость в пространстве
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Вопрос 22 Матрицы и их классификация
- •Вопрос 23 Операции над матрицами
- •Вопрос 24 Определители и их свойства
- •Свойства определителей
- •Теорема (частный случай теоремы Лапласа)
- •Вопрос 25 Определение обратной матрицы
- •Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •Вопрос 26 н-мерное линейное векторное пространство
- •Вопрос 27 Системы векторов, операции над ними
- •Вопрос 28 Ранг матрицы и теорема о ранге матрицы
- •Вопрос 29 линейные операторы и матрицы
- •Вопрос 31 Решение системы линейных уравнений с помощью определителей, метод Крамера
- •Вопрос 32 Решение системы линейных уравнений в матричной форме
- •Вопрос 33 Метод Гаусса
- •Вопрос 34, 35 Сущность и условия применения теории вероятности.
- •Вопрос 35 Основные понятия
- •Вопрос 36 Вероятностное пространство
- •Вопрос 37 Элементы комбинаторики. Соединения
- •Вопрос 39 Теорема сложения вероятностей
- •Вопрос 40 Теорема умножения вероятностей.
- •Вопрос 41 Формула полной вероятности
- •Вопрос 42 Теорема Байеса
- •Вопрос 43 Формула Бернулли
- •Вопрос 44 Случайные величины, способ их описания
- •Вопрос 45 Основные числовые характеристики непрерывной случайной дискретной величины.
- •Вопрос 46 Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Вопрос 47 Биноминальный закон распределения вероятностей случайных величин
- •Вопрос 48 числовые характеристики систем двух случайных величин
- •Зависимость между случайными величинами
Вопрос 27 Системы векторов, операции над ними
Линейные операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам:
1. Х + У = У + Х; (коммутативное свойство суммы)
2. (Х + У) + Z = X + (Y + Z); (ассоциативное свойство суммы)
3. a(bX) = (ab)X;
4. a(X + Y) = aX + aY; (дистрибутивное свойство)
5. (a + b)X = aX + bX;
6. Существует нулевой вектор О=(0,0,…0) такой, что Х + О = Х, для любого Х;
7. Для любого вектора Х существует противоположный вектор (-Х) такой, что Х + (-Х) = О;
8. 1∙Х = Х для любого Х.
Вопрос 28 Ранг матрицы и теорема о ранге матрицы
В матрице размера m x n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно выделить квадратные подматрицы k-го порядка, где k≤min(m; n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
Ранг матрицы А обозначается rang A или r(A).
Из определения следует:
1) ранг матрицы размера m x n не превосходит меньшего из её размеров, т.е. r(A) ≤ min (m; n).
2) r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А=0.
3) Для квадратной матрицы n-го порядка r(A) = n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.
В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы:
1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.5) Транспонирование матрицы.
Теорема Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.
Вопрос 29 линейные операторы и матрицы
Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор y пространства то говорят: что задан оператор (преобразование, отображение) A(x), действующий из в и записывают y=A(x).
Оператор называется линейным, если для любого вектора x и y пространства и любого числа λ выполняются следующие соотношения:
Вопрос 31 Решение системы линейных уравнений с помощью определителей, метод Крамера
Каждой квадратной матрице А, можно поставить в соответствие вычисленное по определенным правилам число, называемое определителем квадратной матрицы.
Определителем матрицы первого порядка А=(а11) или определителем первого порядка называется элемент а11. Обозначается Δ1 = а11 или│А│= а11.
Определителем матрицы второго порядка или определителем второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле: Δ2 = │А│= а11а22 – а12а21 .
Определителем матрицы третьего порядка или определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле: Δ3 = │А│= а11а22а33+а12а23а31+а21а32а13– а31а22а13 – а12а21а33 – а32а23а11.
Пусть А является квадратной матрицей n-го порядка.
Минором Мij элемента аij, называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из матрицы А вычеркиванием i –ой строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком
(-1)i+j *
Теорема Крамера. Пусть Δ – определитель матрицы системы А, а Δj – определитель матрицы, полученный из матрицы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда если Δ не равен нулю, то система имеет единственное решение, определённое по формулам Крамера:
где j=1..n.