Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Теорема. Пусть плоскость  задана общим уравнением

                          ,

а прямая L задана каноническими уравнениями

                          

или параметрическими уравнениями

                              ,   ,

в которых  – координаты нормального вектора плоскости ,  – координаты произвольной фиксированной точки прямой L,  –

координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если , то прямая L пересекает плоскость  в точке, координаты которой  можно найти из системы уравнений

             ;           (7)

2) если  и , то прямая лежит на плоскости;

3) если  и , то прямая параллельна плоскости.

   Доказательство. Условие  говорит о том, что вектроры  и  не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальныеуравнения системы, находим координаты искомой точки.

   Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости икоординаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка  – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

   Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

http://mathus.ru/math/lp.pdf

Угол между прямой и плоскостью в пространстве

Угол ψ между прямой K (с направляющими коэффициентами l, m, n) и плоскостью 

Ах+By+Cz+D=0 находится по формуле:

Пример. Найти угол между прямой и плоскостью.

Решение. По условию ,, тогда.

Из уравнения плоскости имеем, что нормальный вектор . Следовательно=.

Проекция точки на плоскость

• Определите координаты проекции точки М1(-1,-2.5) на плоскость

x-2y+2z-4=0

Нормальный вектор плоскости x-2y+2z-4=0

 имеет координаты (1.-2.2), следовательно, вектор является направляющим вектором прямой a. Теперь мы можем написать параметрические уравнения прямой в пространстве, так как знаем координаты точки прямой М1(-1,-2.5)  и координаты ее направляющего вектора (1.-):

X=1t-1

Y=-2t-2

Z=2t+5

Осталось определить координаты точки пересечения прямой и плоскости. Для этого в уравнение плоскости подставим : .

Теперь по параметрическим уравнениям вычислим значения переменныхx, y и z при : .

Таким образом, проекция точки М₁ на плоскость АВС имеет координаты .

Проекция прямой на плоскость

Эллипс

 Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами и есть величина постоянная (ее обозначают через 2*а ). Причем эта постоянная больше расстояния между фокусами.

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат так, чтобы фокусыF₁ и F₂  лежали на оси , а начало координат совпадало с серединой отрезкаF₁F₂. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: и.

Пусть — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса,, т. е.

(11.5)

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение  (11.5)  к более простому виду следующим образом:

,

,

,

,

.

Так как a>с, то . Положим

     (11.6)

Тогда последнее уравнение примет вид  или

        (11.7)

Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается “” или “”.

Форма эллипса (мера его "сжатия") характеризуется его эксцентриситетом.

 (так как , то)

Прямые: иперпендикулярные главной оси и проходящие на расстоянииот центра, называютсядиректрисами эллипса.

Параметрические уравнения эллипса