1,1

1-Выбираем самый близкий по модулю к 1 элемент 1 столбца и строку с этим элементом ставим на первое место

2-При помощи элементарных преобразований типа 1 добиваемся, чтобы все элементы 1 столбца, начиная со 2 элемента обратились в 0

3-Мысленно вычеркнуть 1 строку и 1 столбец и к полученной матрицы меньшего размера применить шаг 1 данного алгоритма

 ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых строк.

2

Итак, метод Гаусса (или, иначе, метод последовательного исключения неизвестных) состоит в следующем:

1. Путем элементарных преобразований систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с верхне-треугольной матрицей. Эти действия называют прямым ходом. 

2. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

3. При этом все преобразования проводятся над так называемой расширенной матрицей системы, которую и приводят к верхнее - треугольному виду в прямом ходе метода.

система имеет бесчисленное множество решений, так как ранг матрицы меньше числа неизвестных.

что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение: 

1,2

Обратным ходом метода Гаусса найдем корни системы. Из последнего уравнения найдем корень х3: -5/2x3 = 3/2, x3 = (3/2):(-5/2) = 3/2*(-2/5) = -3/5. Корень x3 = -3/5 найден. Подставим его в верхнее (второе) уравнение системы (-2x2-3x3 = 1): -2x2-3(-3/5) = 1, -2x2+9/5 = 1, -2x2 = 1-9/5, -2x2 = -4/5, x2 = (-4/5):(-2) = (-4/5)*(-1/2) = 2/5. Корень x2 = 2/5 найден. Подставим его и корень х3 в верхнее (первое) уравнение системы (x1-x2+x3 = 0):

x1-2/5+(-3/5) = 0, x1-5/5 = 0, x1 = 5/5 = 1. Проверка: т. е. т. е. и т. д.

1,3

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что. Следовательно, столбецявляется линейной комбинацией столбцовматрицы. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что.

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрицекакой-нибудь базисный минор. Так как, то он же и будет базисным минором и матрицы. Тогда, согласно теореме о базисномминоре, последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы.

1,4

 При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется:   

Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

 Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

Определитель с двумя равными строками равен нулю.

Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

Определитель – это некоторое число поставленное в соответствие квадратной матрице .

Для неквадратных матриц понятие определителя не вводится.

Для обозначения определителя квадратной матрицы A будем пользоваться обозначением или.

2.1Свойства операций над векторами.

Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов и произвольных действительных чисел можно при помощи геометрических построений обосновать следующие свойства операций над векторами. Некоторые из них очевидны.

1. Свойство коммутативности .

2. Свойство ассоциативности сложения .

3. Существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевой вектор , и . Это свойство очевидно.

4. Для любого ненулевого вектора существует противоположный вектор и верно равенство . Это свойство очевидно без иллюстрации.

5. Сочетательное свойство умножения . К примеру, растяжение вектора в 6 раз можно произвести, если сначала его растянуть вдвое и полученный вектор растянуть еще втрое. Аналогичного результата можно добиться, например, сжав вектор вдвое, а полученный вектор растянуть в 12 раз.

6. Первое распределительное свойство . Это свойство достаточно очевидно.

7. Второе распределительное свойство . Это свойство справедливо в силу подобия треугольников, изображенных ниже.

8. Нейтральным числом по умножению является единица, то есть, . При умножении вектора на единицу с ним не производится никаких геометрических преобразований.

Векторное пространство (линейное пространство) - множество элементов, называемых векторами, для которых определены операции сложения и умножения на число. Простейший, но важный пример - совокупность векторов a, b, c, ... обычного 3-мерного пространства. Каждый такой вектор - направленный отрезок, задаваемый тремя числами: ; числаназываютсякоординатами вектора. При умножении вектора на вещественное число соответствующий отрезок, сохраняя направление, растягивается враз:. Сумма двух векторов находится поправилу параллелограмма; если ито. Паре векторовa и b сопоставляют также скалярное произведение (см.Векторная алгебра). Непосредственным обобщением З-мерного пространства является n-мерное евклидово пространство. Его элементы - упорядоченные наборы вещественных чисел, Например, ,. Сложение иумножение векторов на число определены формулами ,, а скалярное произведение - формулойПримером комплексного бесконечномерного векторного пространства может служить совокупностькомплексных функцийf, заданных на всей оси и квадратично суммируемых (то есть имеющих конечный интеграл). Многие классы функций, например,полиномы заданного порядка, функции непрерывные, дифференцируемые, интегрируемые, аналитические и тому подобные, также образуют бесконечномерные векторные пространства.

В трёхмерном пространстве понятие «длина вектора» понимается интуитивно как расстояние между его началом и концом. Наиболее важными свойствами «длины вектора» являются следующие:

1. Длина нуль-вектора, , равна нулю; длина любого другого вектора положительна.

2. Умножение вектора на положительное число во столько же раз увеличивает длину вектора.

3. Действует неравенство треугольника.

Обобщение этих свойств на более абстрактные векторные пространства носит название нормы. Векторное пространство, в котором определена норма, называется нормированным пространством.