- •2.1Свойства операций над векторами.
- •2,2 Линейная зависимость и независимость векторов.
- •Геометрическая интерпретация скалярного произведения.
- •Свойства смешанного произведения:
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •Векторное уравнение прямой в пространстве
- •Общие уравнения прямой в пространстве
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения.
- •Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.
- •Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.
- •Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •Проекция точки на плоскость
Векторное уравнение прямой в пространстве
Пусть для прямой известны ее направляющий вектори точка, лежащая на этой прямой. Пусть-- произвольная (текущая) точка прямой. Обозначим черезиr радиус-векторы точек исоответственно (рис. 11.11).
Рис.11.11.Векторное уравнение прямой
Тогда вектор коллинеарен векторуp и, следовательно, , где-- некоторое число. Из рис. 11.11 видно, что
(11.12) |
Это уравнение называется векторным уравнением прямой или уравнением в векторной форме. При каждом значении параметра мы будем получать новую точкуна прямой.
Общие уравнения прямой в пространстве
Линия в трехмерном пространстве определяется, вообще говоря, пересечением двух поверхностей, т.е. описывается системой двух уравнений.
Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и, следовательно, описывать системой двух линейных уравнений
|
м н о |
|
|
| ||
|
|
|
при условии, что эти плоскости непараллельны, т.е. их нормальные векторы неколлинеарны.
Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве
В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Прямую a определяют параметрические уравнения прямой в пространствевида
X=-2
Y=2t+1
Z=-3t+4
, а прямую b – канонические уравнения прямой в пространстве. Найдите расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.
Очевидно, прямая a проходит через точку и имеет направляющий вектор. Прямая b проходит через точку, а ее направляющим вектором является вектор.
Вычислим векторное произведение векторов и:
Таким образом, нормальный вектор плоскости, проходящей через прямую b параллельно прямой a, имеет координаты.
Тогда уравнение плоскости есть уравнение плоскости, проходящей через точкуи имеющей нормальный вектор:
Нормирующий множитель для общего уравнения плоскости равен. Следовательно, нормальное уравнение этой плоскости имеет вид.
Осталось воспользоваться формулой для вычисления расстояния от точки до плоскости:
Это и есть искомое расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ
Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.
Пусть в пространстве заданы две прямые:
Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и. Так как, то по формуле для косинуса угла между векторами получим
.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и:
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l1 параллельна l2 тогда и только тогда, когда параллелен.
Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .
Примеры.
Найти угол между прямыми и.
Найти уравнения прямой проходящей через точку М1(1;2;3) параллельно прямой l1:
Поскольку искомая прямая l параллельна l1, то в качестве направляющего вектора искомой прямой l можно взять направляющий вектор прямой l1.
Составить уравнения прямой, проходящей через точку М1(-4;0;2) и перпендикулярной прямым: и.
Направляющий вектор прямой l можно найти как векторное произведение векторов и: