
- •2.1Свойства операций над векторами.
- •2,2 Линейная зависимость и независимость векторов.
- •Геометрическая интерпретация скалярного произведения.
- •Свойства смешанного произведения:
- •Угол между двумя прямыми
- •Расстояние от точки до прямой
- •Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •Векторное уравнение прямой в пространстве
- •Общие уравнения прямой в пространстве
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве – теория, примеры, решения.
- •Первый способ нахождения расстояния от точки до прямой a в пространстве.
- •Второй способ, позволяющий находить расстояние от точки до прямой a в пространстве.
- •Решение задач на нахождение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •Проекция точки на плоскость
Векторное уравнение прямой в пространстве
Пусть
для прямой известны
ее направляющий вектор
и
точка
,
лежащая на этой прямой. Пусть
--
произвольная (текущая) точка прямой
.
Обозначим через
иr радиус-векторы
точек
и
соответственно
(рис. 11.11).
Рис.11.11.Векторное уравнение прямой
Тогда
вектор коллинеарен
векторуp и,
следовательно,
,
где
--
некоторое число. Из рис. 11.11 видно, что
|
(11.12) |
Это
уравнение называется векторным
уравнением прямой
или уравнением
в векторной форме.
При каждом значении параметра мы
будем получать новую точку
на
прямой
.
Общие уравнения прямой в пространстве
Линия в трехмерном пространстве определяется, вообще говоря, пересечением двух поверхностей, т.е. описывается системой двух уравнений.
Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и, следовательно, описывать системой двух линейных уравнений
|
м н о |
|
|
| ||
|
|
|
при условии, что эти плоскости непараллельны, т.е. их нормальные векторы неколлинеарны.
Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве
В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Прямую a определяют параметрические уравнения прямой в пространствевида
X=-2
Y=2t+1
Z=-3t+4
,
а прямую b – канонические
уравнения прямой в пространстве.
Найдите расстояние между заданными
скрещивающимися прямыми.
Очевидно,
прямая a проходит через точку и
имеет направляющий вектор
.
Прямая b проходит через точку
,
а ее направляющим вектором является
вектор
.
Вычислим
векторное произведение векторов и
:
Таким
образом, нормальный вектор плоскости
,
проходящей через прямую b параллельно
прямой a, имеет координаты
.
Тогда
уравнение плоскости есть
уравнение плоскости, проходящей через
точку
и
имеющей нормальный вектор
:
Нормирующий
множитель для общего уравнения
плоскости равен
.
Следовательно, нормальное уравнение
этой плоскости имеет вид
.
Осталось
воспользоваться формулой для вычисления
расстояния от точки до
плоскости
:
Это и есть искомое расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ
Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.
Пусть в пространстве заданы две прямые:
Очевидно,
что за угол φ между прямыми можно принять
угол между их направляющими векторами и
.
Так как
,
то по формуле для косинуса угла между
векторами получим
.
Условия
параллельности и перпендикулярности
двух прямых равносильны условиям
параллельности и перпендикулярности
их направляющих векторов и
:
Две
прямые параллельны тогда
и только тогда, когда их соответствующие
коэффициенты пропорциональны,
т.е. l1 параллельна l2 тогда
и только тогда, когда параллелен
.
Две
прямые перпендикулярны тогда
и только тогда, когда сумма произведений
соответствующих коэффициентов равна
нулю: .
Примеры.
Найти угол между прямыми
и
.
Найти уравнения прямой проходящей через точку М1(1;2;3) параллельно прямой l1:
Поскольку искомая прямая l параллельна l1, то в качестве направляющего вектора искомой прямой l можно взять направляющий вектор прямой l1.
Составить уравнения прямой, проходящей через точку М1(-4;0;2) и перпендикулярной прямым:
и
.
Направляющий
вектор прямой l можно
найти как векторное произведение
векторов и
: