9. Полярная система координат

9.1. В полярной системе координат (φ,r) построить точки А(0;3); В(π/4;2); С(π/2;3); D(π;2); Е(3π/2;3).

9.2. Построить точки: А(π/2;-2); В(-π/2;3); С(-π/4;-4); D(2π/3;-3).

В номерах 9.3-9.8 записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:

9.3. у=х.

Ответ: tgφ=1.

9.4. у=1.

Ответ: rsinφ=1.

9.5. х+у-1=0.

Ответ: .

9.6. х²+у²=а².

Ответ: r=а.

9.7. х²-у²=а².

Ответ: .

9.8. х²+у²=ах.

Ответ: r=acosφ.

В номерах 9.9-9.20 записать уравнения заданных кривых в декартовых прямоугольных координатах и построить эти кривые:

9.9. r=5.

Ответ: окружность х²+у²=25.

9.10.tgφ=-1.

Ответ: прямая у=-х.

9.11.rcosφ=2.

Ответ: прямая х=2.

9.12. rsinφ=1.

Ответ: прямая у=1.

9.13..

Ответ: прямая х-у-1=0.

9.14. .

Ответ: прямая х+у-2=0.

9.15. r=2acosφ.

Ответ: окружность (х-а)²+у²=а².

9.16. r=2asinφ.

Ответ: окружность х²+(у-а)²=а².

9.17.sinφ=1/.

Ответ: пара лучей х=±2у, у≥0.

9.18.sinr=1/2.

Ответ: семейство концентрических окружностей радиусов r_n=(-1)ⁿ+πn, n=0,1,2,…

9.19.r²sin2φ=2a².

Ответ: гипербола ху=а².

9.20.r²=a²cos2φ.

Ответ: лемниската Бернулли (х²+у²)²=а²(х²-у²).

9.21. Построить линии:

1) r=aφ (архимедова спираль); 2) r=a(1-cosφ) (кардиоида);

3) r²=a²cos2φ (лемниската); 4) r=a/φ (гиперболическая спираль);

5) r=a(1+2cosφ) (улитка Паскаля).

9.22. Написать в полярных координатах уравнение окружности с центром в точке С(0;а) и радиусом, равным а.

Ответ: .

9.23. Определить полярные координаты центра и радиус каждой из следующих окружностей:

а) r=4cosφ; б) r=3sinφ; в) r=-5sinφ; г) r=6cos;

д) r=8sin; e) r=8sin.

Ответ: а) С(2;0); R=2; б) С(3/2; π/2); R=3/2; в) С(5/2;-π/2); R=5/2; г) С(3;π/3); R=3; д) С(4;5π/6); R=4; е) С(4;-π/6); R=4.

9.24. Построить кривые:

1) r=3-2sin2φ; 2) r=2+cos3φ; 3) r=1-sin3φ.

Указание. Определить сначала углы, при которых имеем r_maxи r_min.

Ответ: 1) r_max=5 при r_min=1 при r=3 при 2)r_max=3 при r_min=1 при 3)r_max=2 приr_min=0 при

9.25. Построить кривые: 1) r=3+2cos2φ; 2) r=3-sin3φ; 3) r=аcos2φ.

Ответ: 1) r_max=5 при r_min=1 при 2)r_max=4 при r_min=2 при 3)r=а при r=-а при r=0 при

9.26. Построить: 1) r=4(1+cosφ); 2) r=2-sinφ.

10. Поверхности

10.1. Найти центр и радиус сферы:

1) x²+y²+z²-3x+5y-4z=0; 2) x²+y²+z²=3аz

и построить изображение второй сферы.

Ответ: 1) С(1,5;-2,5;2), 2) С(0;0;а), .

10.2. Построить в левой системе координат поверхности

1) y²+z²=4; 2) y²=ах; 3) хz=4; 4) x²+y²=ax.

10.3. Написать уравнение цилиндрической поверхности с направляющей y²=4х, z=0 и с образующей, параллельной вектору {1;2;3}.

Ответ: .

10.4. Написать уравнение плоскости, проходящей через центр С поверхности x²+y²+z²-2x+y-3z=0 и перпендикулярной к прямой ОС.

Ответ: 2x-y+3z-7=0.

10.5. Написать уравнение конической поверхности с вершиной в начале координат и направляющей x²+y²=а², z=с. Построить поверхности.

Ответ: .

10.6. Написать уравнение конической поверхности с вершиной в точке А(0;-а;0) и направляющей x²=2рy, z=h. Построить изображение поверхности.

Ответ: .

10.7. Написать уравнение поверхности, образованной вращением кривой z =x², y=0: 1) вокруг оси Оz; 2) вокруг оси Ох. Построить обе поверхности.

Ответ: а) ; б).

10.8. Написать уравнение поверхности, образованной вращением эллипса =0 вокруг оси Оz.

Ответ: .

10.9. Построить гиперболоид и найти его образующие, проходящие через точку (4;1;-3).

Ответ: и