- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Геометрия и топология
- •1. Линейные операции над векторами
- •2. Прямоугольные координаты точки и вектора. Базис
- •3. Скалярное произведение векторов
- •4.Векторное произведение векторов
- •5. Смешанное произведение векторов
- •6. Прямая на плоскости
- •7. Плоскость и прямая в пространстве
- •8. Кривые второго порядка
- •9. Полярная система координат
- •10. Поверхности
- •11. Элементы топологии
- •Список рекомендуемой литературы
2. Прямоугольные координаты точки и вектора. Базис
2.1. Построить вектор ==2+3+6и определить его длину и направление (проверить по формулеcos2α+cos2β+cos2γ=1).
Ответ:
2.2. Даны точки А(1;2;3) и В(3;-4;6). Построить вектор =, его проекции на оси координат и определить длину и направление вектора. Построить углы векторас осями координат.
Ответ:
2.3. На плоскости хОу даны точки А(4;2); В(2;3) и С(0;5) и построены векторы ,и. Разложить геометрически и аналитически векторпо векторам.
Ответ: .
2.4.Даны три последовательные вершины параллелограмма А(1;-2;3); В(3;2;1); С(6;4;4). Найти координаты его четвертой вершины D.
Ответ: D (4;0;6).
2.5. Даны три вершины А(3;-4;7); В(-5;3;-2) и С(1;2;-3) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D, противоположную В.
Ответ: D(9;-5;6).
2.6. Даны две смежные вершины параллелограмма А(-2;6); В(2;8) и точка пересечения его диагоналей М(2;2). Найти две другие вершины.
Ответ: С(6;-2); D(2;-4).
2.7. Определить координаты вершин треугольника, если известны середины его сторон: К(2;-4); М(6;1); N(-2;3).
Ответ: А(-6;-2); В(2;8); С(10;-6).
2.8. На оси абсцисс найти точку М, расстояние от которой до точки А(3;-3) равно 5.
Ответ: М1(7;0) и М2(-1;0).
2.9. На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек А(1;-4;7) и В(5;6;-5).
Ответ: М(0;1;0).
2.10. Даны вершины треугольника А(3;-1;5); В(4;2;-5) и С(-4;0;3). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.
Ответ: 7.
2.11. Отрезок с концами в точках А(3;-2) и В(6;4) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.
Ответ: (4;0) и (5;2).
2.12. Определить координаты концов отрезка, который точками С(2;0;2) и D(5;-2;0) разделен на три равные части.
Ответ: (-1;2;4) и (8;-4;-2).
2.13. Треугольник задан координатами своих вершин А(3;-2;1); В(3;1;5); С(4;0;3). Вычислить расстояние от начала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.
Ответ: .
2.14. Задан тетраэдр OABC. В базисе из ребер и, найти координаты:
а) вектора гдеD и Е – середины ребер и;
б) вектора , гдеF – точка пересечения медиан основания АВС.
Ответ: а) (-1/2;1/2;1/2); б) (1/3;1/3;1/3).
2.15. В тетраэдре ОАВС медиана AL грани АВС делится точкой М в отношении . Найти координаты векторав базисе из ребери.
Ответ: (7/10;3/20;3/20).
2.16. Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. В базисе из векторов инайти координаты:
а) вектора , гдеМ – точка пересечения диагоналей параллелограмма;
б) вектора , гдеК – середина стороны AD.
Ответ: а) (1/2;0;1/2); б) (1;-1/2;1/2).
2.17. В трапеции ABCD известно отношение длин оснований: . Найти координаты векторав базисе из векторов.
Ответ: (1;-1/;-1).
2.18. На плоскости заданы векторы (-1;2),(2;1) и(0;-2). Убедиться, что β=(,) – базис в множестве всех векторов на плоскости. Построить заданные векторы и найти разложение векторапо базису β.
Ответ: =-.
2.19. Показать, что тройка векторов (1;0;0),(1;1;0) и(1;1;1) образует базис в множестве всех векторов пространства. Вычислить координаты векторав базисе β=(,) и написать соответствующее разложение по базису.
Ответ: =-2е1+е2-е3.
2.20. Заданы векторы, ,. Найти:
а) координаты орта ;
б) координаты вектора ;
в) разложение вектора по базису β=();
г) .
Ответ: а) а0(2/;3/;0); б)а-b+c=d(3;11/2;0); в) a+b-2c=-2j; г) прj(a-b)=6.
2.21. Найти координаты орта , если(6;7;-6).
Ответ: (6/11;7/11;-6/11).
2.22. Найти Z(), если Х()=3, Y()=-9 и ||=12.
Ответ: .
2.23. Найти длину и направляющие косинусы вектора , если,,.
Ответ: |p|=,cosα=9/,cosβ=8/,cosγ=3/.
2.24.Даны векторы ={3;-2;1},={-2;4;-3}. Найти длину и направление вектора.
Ответ: .
2.25. Найти вектор , коллинеарный вектору, образующий с ортомострый угол и имеющий длину ||=15.
Ответ: х=-5i+10j+10k.
2.26. Найти вектор , образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если ||=.
Ответ: х=2i+2j+2k.
2.27. Найти вектор , образующий с ортомугол 60о, с ортом – угол 120о, если ||=.
Ответ: х=±5i+j-k.
2.28. При каких значениях α и β векторы иколлинеарны?
Ответ: α=-1, β=4.