68
Лекция № 15
1. Интегральные принципы.
2.Понятие обобщенных координат.
3.Математическая модель ЭМС.
Анализ соотношения (2.25) – (2.29) показывает, что получение дифференциальных уравнений и выражений для силы (момента) сводится к выбору физических переменных электрических и механических цепей ЭМС, используемых в качестве обобщенных, и последующему выполнению формальных математических операций.
Для электрических цепей возможны два случая выбора обобщенных координат, т.к. основная энергетическая функция индуктивных ЭМС – магнитная энергия или коэнергия, в соответствии с выражениями (2.20) и (2.22) может определяться как потенциальная энергия или кинетическая коэнергия.
Например, пусть для ЭМС с одним электрическим контуром магнитная
ψ
энергия Wm = ∫ idψ отождествляется с потенциальной энергией. Тогда в соот-
0
ветствии с (2.28) ψ является обобщенной координатой qk, i – обобщенной силой fk. Отождествим с кинетической коэнергией Т′ (2.27) магнитную коэнергию
|
|
i |
~ |
|
|
m |
|
∫ |
– обобщенная координата, ψ – |
||
= |
ψdi (i – обобщенная скорость; заряд q |
||||
W′ |
|
||||
|
|
0 |
|
|
обобщенный импульс). Тогда в соответствии с существующими динамически-
~
ми соотношениями между переменными электрических цепей ЭМС ik = ddtqk ,
Uk = ddtψk и т.д. Электрическая энергия ЭМС We будет отождествляться с по-
тенциальной энергией.
Обобщенные переменные ЭМС для двух рассмотренных случаев приведены в таблице 2.2.
69
|
|
|
Таблица 2.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обобщенная |
Механическая подсистема |
Электрическая подсистема |
||||
переменная |
|
|
|
|
|
|
Вращатель- |
Поступатель- |
W′ ≡ T |
|
W |
≡ П |
|
|
|
|
m |
|
m |
|
|
ное движение |
ное движение |
|
|
|
|
|
|
|
WC ≡ П |
|
Wc ≡ T |
|
qK |
θ |
x |
~ |
|
ψ j |
|
qj |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
qK |
θ |
x |
i j |
|
U j |
|
bK |
− Cθ |
− cx |
~ |
|
− i j |
|
− U j (qj , |
|
|||||
PK |
Jθ |
mx |
ψ j |
|
~ |
|
|
qj |
|
||||
QK |
MH |
FH |
EK (0) |
|
EK (0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Физический смысл Рэлеевой функции рассеяния и внешних неконсервативных сил в системе координат, получившее наибольшее распространение
′ |
′ |
= П), поясняет таблица 2.3. |
|
|
( Wm |
≡ T , We |
|
||
|
|
|
|
Таблица 2.3. |
|
|
|
|
|
Функция |
Механическая подсистема |
Электрическая |
||
|
|
|
|
подсистема |
|
|
Вращательное |
Поступательное |
|
|
|
движение |
движение |
|
|
|
|
|
|
|
Qk |
MH |
FH |
E j |
|
|
|
|
|
|
F |
1hθ2 |
1hx2 |
∑n 1(rj + r0 j )i2j |
|
|
2 |
2 |
i=1 2 |
|
|
|
|
|
Согласно выражениям (2.27). (2.28) кинетическая коэнергия
T |
′ |
i1 |
( |
) |
i2 |
( |
,i |
) |
|
in |
( |
,i2 |
,...,in |
|
) |
|
|
= ∫ ψ1 i1 |
,0,...,0, x di1 |
+∫ ψ2 |
i1 |
2 ,...,0, x di2 |
+... + ∫ |
ψn i1 |
, x dt + |
||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
(i1,i2 ,..., in ,iв1,...,0, x)diв1 |
|
i |
(i1 |
|
,iв1,...,iвn , x)diвn |
|
1mx2 |
||||||
+ ∫в1 ψв1 |
+... + ∫вn ψвn |
,i2 ,...,in |
+ |
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
и потенциальная энергия
70
П= 12 cx2
Всоответствии с (2.29) силы рассеяния можно определить
J = 12 (r1 + r01 )i12 + ... + 12 (rn + r0n )i2n + 12 rв1iв12 + ... + 12 rвn iвn 2 + 12 h(x)2
Вычисляя консервативный лагранжиан (2.26) и подставляя в уравнение (2.25) получим N дифференциальных уравнений
m d2 x2 + h dx + cx = Fg − Fн dt dt
|
|
|
|
|
∂ |
|
i1 |
|
|
|
|
|
in |
||
Fg = |
|
|
|
∫ ψ1di1 |
+ ... + ∫ ψ n din |
||||||||||
|
∂x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
dψ1 |
|
+ i |
|
(r |
+ r |
) = E |
|
|
||||||
|
|
|
k1 |
||||||||||||
|
dt |
1 |
|
|
1 |
|
01 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
................................... |
|
||||||||||||||
|
dψn |
|
|
+ i |
|
|
(r |
|
+ r |
|
) = E |
|
|||
|
|
n |
|
|
kn |
||||||||||
|
dt |
|
|
|
n |
|
0n |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dψв1 |
|
+ i |
|
|
r |
|
= 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
в1 |
|
|
|
|
|||||||
|
dt |
|
|
|
в1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
................................... |
|
||||||||||||||
|
dψвn |
|
+ i |
|
|
r |
|
= 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
вn |
|
|
|
|
||||||
|
dt |
|
|
|
вn |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ψ j = f (i1,...,in ,iв1,...,iвn , x)
iв1 |
iвn |
|
+ ∫ ψв1diв1 |
+ ... + ∫ |
ψвn diвn |
0 |
0 |
|
(2.30)
Для конкретной конструктивной схемы ЭМС можно получить её математическую модель, устанавливающую связь между характеристиками системы её конструктивными и эксплутационными параметрами. При этом должен быть выбран необходимый уровень сложности математической модели.
А. µr =f(ij,x); ψj определяется параметрами воздушных зазоров, обмоток, магнитопровода и его материалов.
Б. µr =const; ψj определяется параметрами воздушных зазоров, обмоток, магнитопровода.
В. µr =∞; ψj определяется параметрами воздушных зазоров и обмоток.
71
Уровню А соответствует нелинейная математическая модель (2.30), для
уровней Б и В эту модель можно преобразовать к виду |
|
||||||||
m d2 x + h dx + cx |
= F |
− F |
|
|
|||||
|
dt2 |
|
dt |
|
|
g |
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n |
L diвr |
+ k dx + i (r + r )= E ; j = 1, n |
|
||||||
∑ вjr |
dt |
|
ej |
dt |
j |
j 0 j |
j |
(2.31) |
|
r=1 |
|
+ kej |
|
|
|
||||
∑ Lвjr |
diвr |
dx + iвjrвj = 0; j = 1, n |
|
||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r=1 |
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
Ke |
= f (i j ,iв≠ j , x); αir , вir |
= f (x) |
|
|
|||||
Система дифференциальных уравнений (2.31) также нелинейна.