59
Лекция № 13 1. Методы математического описания ЭМС.
2.Дифференциальные принципы.
3.Выражения для сил.
Методы математического описания электромеханических систем. Математическое описание процессов электромеханического преобразования энергии на основе дифференциальных принципов.
Уравнение динамического равновесия для ЭМС, представленной в виде схем замещения, определяются следующими принципами:
1. Принцип Даламбера и соотношение непрерывности пространства для механических цепей:
n |
|
|
= 0 |
(2.6) |
∑ Pi − Fi |
||||
i=1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
∑xi = 0 |
|
|
(2.7) |
|
i=1
Здесь Рi – i-ая инерционная сила, приложенная к узлу, Fi – i-ая меха-
ническая сила, включая любые силы связи, приложенные к узлу, xi – i-ая скорость в контуре.
Фундаментальное соотношение сил в статике состоит в том, что при равновесии тела сумма всех действующих на него сил должна быть рана нулю. Это положение было использовано Даламбером для постулирования соотношения (2.6). Согласно этому постулату при динамическом равновесии механических систем сумма всех сил равна нулю.
Механический узел – узел в эквивалентной схеме. Он имеет одну степень свободы и описывается координатой x. Для того, чтобы удовлетворить принципу Даламбера должно выполняться соотношение непрерывности пространства (2.7) – сумма скоростей вдоль любого механического контура должна быть равна нулю.
60
2. Уравнения динамического равновесия, установленные Кирхгофом и соотношение непрерывности заряда для электрической схемы
n |
|
|
∑Ui = 0 |
(2.8) |
|
i=1 |
|
|
n |
|
|
∑ii |
= 0 |
(2.9) |
i=1 |
|
|
Здесь Ui – i-ое напряжение в контуре, ii – i-ый ток в узле. |
|
|
Уравнение (2.6)…(2.9) – уравнение движения ЭМС. Функциональные зависимости между переменными системы (2.6)…(2.9) устанавливают уравнение связи. Они определяются в соответствии с законами Кирхгофа для магнитной цепи ЭМС
n |
m |
n |
n |
|
|
∑ii Wi |
= ∑ H jlj |
+ ∑Фi Ri |
, ∑Фi |
= 0 |
(2.10) |
i=1 |
j=1 |
i=1 |
i=1 |
|
|
Установим физический смысл отдельных составляющих уравнений (2.6), (2.8) для произвольной ЭМС рассматриваемого класса, удовлетворяющей принятой идеализации (рис. 2.2) и содержащей n электрических контуров и одну механическую подвижную часть с одной степенью свободы. В качестве независимых переменных примем координаты i1,…,in , x(α). Учтем явления, существенно влияющие на характеристики ЭМС. Тогда уравнение (2.6) для механической цепи можно записать в виде
mx + hx + cx = Fg − Fн |
(2.11) |
(поступательное перемещение подвижных частей) |
|
Jα + hα + cα = Mg − Mн |
(вращательное перемещение подвижных |
частей)
Механическая сила электромагнитного происхождения Fg(i1,…,in , x) преодолевает силу инерции mx , силу вязкого трения hx , силу упругости cx и силу нагрузки Fн.
Уравнение (2.8) для любого j-го контура электрической цепи ЭМС
запишется в виде |
|
ej+Ej =ij(rj+r0j) |
(2.12) |
61
Здесь Ej – ЭДС источника питания (для короткозамкнутых электрических контуров Ej =0), ej– наведенная ЭДС, определяемая законом электромагнитной индукции
ej |
= |
dψ j |
|
(2.13) |
|
dt |
|||||
|
|
|
|||
Согласно (2.12) |
часть энергии, подводимой к обмотке от источника |
||||
ЭДС, теряется на активном сопротивлении rj и внутреннем сопротивлении источника r0j. С учетом (2.13) уравнение (2.11) запишется в виде
|
dψ j |
+ i |
(r |
|
+ r |
)= E |
|
, |
dψвj |
+ i |
r |
= 0 |
(2.14) |
|
|
|
j |
j |
|
||||||||||
|
dt |
j |
|
|
0 j |
|
|
dt |
|
вj вj |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где ψj определяется уравнением связи |
|
|||||||||||||
ψj =f(i1,...,in, x); ψвj |
=Фj |
|
|
|
(2.15) |
|||||||||
Уравнение |
связи |
|
(2.15) |
справедливо, если в качестве |
независимых |
|||||||||
переменных выбраны токи. Если же в качестве независимых переменных выбраны потокосцепления, то уравнения электрической цепи записываются в виде закона Кирхгофа для узла
N
∑i j = 0 ,
j=1
а уравнение связи будет иметь вид
ij =f(ψ1,…,ψn , x) (2.16)
Уравнения (2.6) – (2.16) полностью определяют процессы электромеханического преобразования энергии в любой системе индуктивного типа.
Преобразуем уравнение (2.14), раскрывая полную производную
∂ψ1 ∂i1 |
+ ∂ψ1 |
∂i2 |
+ ... + ∂ψ1 |
∂in |
+ |
∂ψ1 ∂x + i |
(r |
+ r |
) = E |
1 |
|
∂i1 dt |
∂i2 |
dt |
∂in |
dt |
|
∂x dt |
1 |
1 |
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
…………………………………………………………….. (2.17)
∂ψn |
∂in |
+ ∂ψn |
∂i1 |
+ ... + ∂ψn |
∂in−1 |
+ |
∂ψn ∂x + i |
n |
(r |
+ r |
) = E |
n |
∂in |
dt |
∂i1 |
dt |
∂in−1 |
dt |
|
∂x dt |
n |
0n |
|
||
|
|
|
|
|
|
62
В уравнения (2.17) ij(rj+r0j) – падения напряжения на сопротивлениях
обмоток и выходных каскадов усилителей мощности, |
∂ψ j ∂i |
k |
– |
ЭДС само- |
||||
∂ik |
|
dt |
||||||
|
|
|
|
|
||||
индукции при j =k (j, k =1,n) и ЭДС взаимоиндукции при j |
≠k, |
∂ψ j ∂x |
– ЭДС, |
|||||
∂x |
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
наводимая в обмотках при движении якоря (противо ЭДС).