63
Лекция № 14
1. Определение механических сил электромагнитного происхождения.
2. Математическое описание процессов электромеханического преобразования энергии на основе интегральных принципов.
Анализируя уравнения (2.11) – (2.14), можно установить, что все их члены, за исключением Fg или Mg, записаны на основании соотношений, известных из теории механических и электрических систем. Поэтому основной задачей является определение выражений механических сил электромагнитного происхождения.
Получим выражение для Fg (Mg), используя принцип возможных перемещений и закон сохранения энергии.
Для ЭМС, блок-схема которой приведена на рис. 2.2, уравнение баланса энергий в соответствии с законом сохранения
dWвх =dWm + dWвых (2.18) Wвх – подведенная энергия, Wm – энергия, запасенная в магнитном поле,
Wвых – полезная энергия, отдаваемая в нагрузку, Wm – силовая функция, которая в соответствии с выражением (2.4) для идеализированной модели с n электрическими контурами и одной механически подвижной частью имеет вид
W |
= |
n |
ψi |
i |
(ψ |
,...,ψ |
,x)dψ |
i |
(2.19) |
m |
|
∑ ∫ i |
1 |
n |
|
|
|||
|
|
i=1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
Величина силовой функции Wm зависит только от конечных значений параметров x, ψ1,…,ψn. Это позволяет вычислить линейный интеграл (2.19) выбирая любой удобный путь интегрирования. Наиболее просто выражение для Wm получается при выборе следующего пути интегрирования: все электрические переменные поддерживаются равным нулю, когда изменяется механическая координата, затем x поддерживается постоянным, пока ψj достигают своих конечных значений. Причем каждое потокосцепление изменяют до его конечного значения, сохраняя все остальные ψ неизменными.
64
Последовательность, в которой ψj достигают своих конечных значений, несущественна. В этом случае запасенная магнитная энергия определиться по
выражению |
|
|
Wm = ψ∫1i1(ψ1,0,...,0, x)dψ1 |
+ ψ∫2 i2 (ψ1, ψ2 ,0,0, x)dψ2 |
+ ... + ψ∫n in (ψ1,..., ψn , x)dψn |
0 |
0 |
0 |
(2.20) |
|
|
Силу Fg получим, считая, что возможное перемещение происходит по механической координате за время dt. Электрические переменные изменяются
втечение времени независимо друг от друга. Закон сохранения энергии (2.18) должен удовлетворяться в течение всего возможного перемещения. Подставляя
в(2.18)
dW |
|
= |
n |
|
|
U |
i |
|
dt , dW |
= F dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
вх |
|
∑ |
|
|
|
j i |
|
вых |
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ U jii dt = dWm + Fg dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dWm = ∑ U jii dt − Fg dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно этому уравнению, учитывая, что dψj =Ujdt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Fg |
|
|
n |
|
|
dψ j |
− |
∂W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.21) |
|
||||||||
= ∑i j |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
dx |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Зависимость (2.21) дает общее выражение для силы. Это выражение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
можно упростить используя понятие коэнергии Wm′ (рис. 2.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
W |
′ |
= |
i1 |
ψ |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
) |
|
+ |
i2 |
ψ |
|
( |
,i |
|
) |
|
+... + |
in |
ψ |
|
( |
,i |
|
,...,i |
|
) |
|
|
∫ |
1 |
i |
,0,0,...,0,x di |
1 |
∫ |
2 |
i |
2 |
,0,...,0, x di |
2 |
∫ |
n |
i |
2 |
n |
, x di |
n |
|||||||||||||||||
m |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.22) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно рис. 2.4. между энергией и коэнергией можно установить следующие соотношения
n |
′ |
(2.23) |
|
||
Wm = ∑i jψ j − Wm |
||
j=1
65
Подставляя (2.23) в (2.21) получим |
|
|||||||
|
′ |
( |
, x |
) |
|
|
′ |
|
Fg = |
∂Wm |
i1,..., in |
|
, |
Mg = |
∂Wm |
(2.24) |
|
|
∂x |
|
|
∂α |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Выражения (2.21) и (2.24) позволяют определить силу, когда независимыми переменными являются токи и перемещения.
Аналогично можно получить выражение для случая, когда независимыми переменными являются потокосцепления и перемещения, тогда наиболее простые выражения для силы получаются через энергию Wm. Сведем выражения для сил в одну таблицу
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Независимые |
Выражение |
Выражение |
|||||||||
величины |
для силы, |
|
|
|
для силы, |
|
|
||||
|
Полученное |
Полученное |
|
||||||||
|
через энергию |
через коэнергию |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
i1,...,in , x |
FД = ∑i j |
∂ψ j |
− |
|
FД |
= |
∂Wm |
|
|
||
|
∂x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
j 1 |
|
∂x |
|
|
|
|
||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ψ1,...,ψn , x |
|
∂Wm |
|
∂W′ |
n |
|
|||||
|
FД = − |
|
∂x |
FД = |
|
m |
− |
∑ψ |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
∂x |
j 1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученные соотношения для электромагнитной силы и выражения (2.6) – (2.17) полностью определяют уравнения движения в любой нелинейной электромеханической системе рассматриваемого класса. Они являются интегродифференциальными и могут быть разрешены только на ЭВМ с применением численных методов.
Математическое описание процессов электромеханического преобразования энергии на основе интегральных принципов.
66
Наиболее общим методом описания динамических систем, имеющих в своем составе звенья различной физической природы является метод, использующий интегральные принципы.
Одним из основных интегральных принципов является принцип наименьшего действия (принцип Гамильтона), использующий обобщенные координаты системы и энергетическую функцию Лагранжа (Лагранжиан). На основе принципа Гамильтона получают уравнение Лагранжа, форма которых не зависит от физической природы переменных.
Впервые уравнения Лагранжа были использованы в классической механике для наиболее общей формулировки закона движения материальных тел.
Дж. Кл. Максвелл предложил использовать уравнения Лагранжа для описания ЭМС, установив обобщенные переменные для их электрических цепей. Чаще всего здесь используются уравнения Лагранжа второго рода.
|
d |
|
∂L |
|
|
∂L |
|
∂J |
|
|
|
|
|
− |
+ |
= Qk |
(2.25) |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
∂qk |
∂qk |
||||
|
dt |
∂qk |
|
|
|
|
||||
где qk, |
qk |
– обобщенные координаты и скорости; L – консервативный |
||||||||
лагранжиан L =f(qk,qk ,t); определяемый для нелинейной системы как разность между кинетической коэнергией Т′ и потенциальной энергией П.
L = Т′-П |
|
|
(2.26) |
|||
Для любой системы координат Т′ и определяются через обобщенные |
||||||
импульсы Рк и силу fk: |
|
|
||||
T |
′ |
n |
qk |
( |
) |
(2.27) |
|
= ∑ ∫ Pk |
qk , qk |
, t dqk |
|||
|
|
k=1 |
0 |
|
|
|
|
|
n |
qk |
|
|
|
П = ∑ |
∫ − fk (qk , t)dqk |
(2.28) |
||||
|
|
k=1 |
0 |
|
|
|
В уравнении Лагранжа – Максвелла (2.25) J – Рэлеева функция рассеяния, определяющая неконсервативные силы, связанные с потерями энергии в системе (2.29)
67
|
1 |
n |
(qk |
2 |
|
J = |
∑ Kk |
) |
(2.29) |
||
|
2 k=1 |
|
|
|
|
Qk – внешние неконсервативные силы, появляющиеся за счет источников и имеющие постоянную или изменяющуюся во времени величину, не зависящую от qk и qk .