Текст задания:

1. Известно, что тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону s(t) = t² + 2. Найдите кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

2. Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой 10 кг, движущуюся прямолинейно по закону х(t) = 2t³ – t² при t = 2с.

3. Движение материальной точки описывается уравнением x = 2 sin(π/2t + π/4). Определите максимальные значения скорости и ускорения.

4. Колебательное движение точки описывается уравнением x = 0,05 cos 20πt. Найти координату, скорость и ускорение спустя 1/60 с после момента времени t = 0.

5. Закон изменения температуры тела в зависимости от времени задаётся уравнением T = 0,2t². С какой скоростью изменяется температура тела в момент времени 5с?

6. Изменение силы тока в зависимости от времени задано уравнением I = 2t² – 5t. Найдите скорость изменения силы тока в момент времени 10с.

7. Маховик вращается вокруг оси по закону (t) = t⁴ – 1. Найдите его угловую скорость w в момент времени t и t = 2с.

8. При вращении проволочной рамки в однородном магнитном поле пронизывающий рамку магнитный поток изменяется в зависимости от времени по закону Ф = 10^–2cos 10πt. Вычислив производную Ф't , написать формулу зависимости ЭДС от времени   ε = ε(t). Определить максимальное значение магнитного потока и ЭДС.

9. Заряд q ;на пластинах конденсатора изменяется по закону q = 10 – 6cos 104πt. Записать закон зависимости силы тока от времени i = i(t), вычислив производную q^'_t. Определить максимальное значение электрического заряда и силы тока.

Самостоятельная работа №13

Тема: Применение определённого интеграла в физике

Цель: закрепить знания и умения студентов по освоению темы

Теоритическое обоснование:

Нахождение пути, пройденного телом при прямолинейном движении. Как известно, путь, пройденный телом при равномерном движении за время t, вычисляется по формуле S=vt Если тело движется неравномерно в одном направлении и скорость его меняется в зависимости от времени t, т.е v=f(t), то для нахождения пути, пройденного телом за время от , разделим этот промежуток времени на n равных частей . В каждой из таких частей скорость можно считать постоянной и равной значению скорости в конце этого промежутка. Тогда пройденный телом путь будет равен приближенно сумме , т.е S=

Если функция непрерывна, то

Итак, путь пройденный телом будет вычисляться по формуле  

Вычисление работы переменной силы.

Пусть тело под действием силы F движется по прямой. Если действующая сила постоянна, а пройденный путь равен S , то как известно из курса физики работа А этой силы вычисляется по формуле А=F

Рассмотрим как вычисляется работа, если сила не является постоянной.

Например, нужно определить работу А, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из цилиндрической цистерны с радиусом основания R и высотой h.

Работа, которую необходимо затратить, чтобы поднять тело, равна произведению веса тела на высоту подъема. Вес воды, заполняющий цистерну, равен Р=mq, где m=V (- плотность воды,= 1000кГ/м³) ,V-объем цистерны.V= ,q м/

Чтобы поднять слой воды на высоту x, необходимо совершить работу , где выделенного слоя воды, V=, тогда А=

Производительность труда в течение рабочего дня изменяется. Положим, что х- время, отсчитываемое от начала рабочего дня, тогда производительность труда у - является функцией времени, т.е. у=f(x). Допустим, что нужно определить объем продукции, произведенной рабочим от а часов до b часов. Объем продукции, выпускаемой за время (b- а) часов, можно рассматривать как сумму объемов продукции, произведенных в бесконечно малых интервалах, на которые поделен интервал b- а. Можно считать, что в каждом из этих бесконечно малых интервалов функция f(x) не изменяется и, следовательно, объем произведенной продукции есть произведение производительности труда f(x) на время . Следовательно, продукция, произведенная за b часов, равна: