Раздел 7. Тела и поверхности вращения Самостоятельная работа № 17

Тема: Сечения тел вращения плоскостями

Цель: закрепить знания и умения студентов по освоению темы методом решения задач.

Теоритическое обоснование:

Текст задания:

Задача 1. Площадь сечения шара плоскостью в 8 раз меньше площади поверхности шара. Найдите радиус шара, если расстояние от центра шара до секущей плоскости равно √2 см.

Задача 2. Найдите объем конуса, если его образующая наклонена к плоскости основания под углом 45°, а его осевое сечение есть равнобедренный треугольник с основанием 6 см

Задача 3.Найдите отношение объема цилиндра, высота которого в 2 раза больше диаметра основания, к объему описанного около него шара.

Задача 4. Основанием конуса служит круг, вписанный в грань куба, а вершина конуса лежит на противоположной грани куба. Найдите объем конуса, если сторона куба равна 4 см.

 Задача 5.Найдите угол, который составляет образующая конуса с плоскостью его основания, если длина образующей √3 см, а расстояние от вершины конуса до центра вписанного в него шара равно 1 см.

Задача 6. Найдите объем конуса, осевое сечение которого представляет собой равносторонний треугольник, если объем вписанного в него шара равен 32/3 см³

Задача 7. Найдите площадь боковой поверхности правильной восьмиугольной призмы, если в нее вписан шар, поверхность которого равна  ( √2 + 1) см².

Задача 8. Около шара описан усеченный конус, площадь нижнего основания которого в 4 раза больше площади верхнего основания. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если радиус шара 2√ 2 см

Задача 9. Найдите площадь основания конуса, если развертка его боковой поверхности представляет собой треть круга радиуса 3 см.

Задача 10. Найдите объем тела вращения, полученного в результате вращения ромба с диагоналями √15 см и60/π см, вокруг большей диагонали.

Ответы: 1) 2; 2)  9π; 3) 3√5/25; 4) 16π/3; 5) π/3; 6) 24; 7) 8; 8) 9π; 9) π; 10) 75.

Контрольные вопросы:

[2, стр. 326 – 331, 356,357,359]

[2, стр. 333(12 – 21), 360(4 – 6, 9)]

Самостоятельная работа № 18

Тема: Касательная к сфере

Цель: закрепить знания и умения студентов по освоению темы методом решения задач.

Теоритическое обоснование: Шар (сфера) и плоскость

Плоскость, имеющая со сферой (шаром) одну общую точку, называется касательной плоскостью, более одной общей точки — секущей плоскостью.    Прямая, имеющая со сферой одну общую точку, называетсякасательной прямой, две общие точки — секущей прямой.
Пусть ρ (O; а) — расстояние от центра шара  (сферы) с центром О и радиусомR до плоскости а.   Если ρ > R, то шар (сфера) и плоскость общих  точек не имеют.
Если ρ < R, то пересечение шара (сферы) и  плоскости есть круг (окружность) радиуса r.   Всякое сечение шара (сферы) плоскостью есть круг (окружность)
Сечение шара плоскостью, проходящей через центр шара (ρ = 0), называется большим кругом шара.   Эта плоскость является плоскостью симметрии шара и делит его на две равные части (два  полушария).
Признак касательной плоскости   Если плоскость проходит через конец диаметра сферы и перпендикулярна ему, то эта плоскость касательная к сфере.   Если ρ = R, плоскость и шар (сфера) имеют одну общую точку.   Плоскость касается шара (сферы).
Свойство касательной плоскости   Плоскость, касательная к сфере,  перпендикулярна диаметру (радиусу), проходящему через точку касания.
Признак касательной прямой   Если прямая проходит через конец диаметра сферы и перпендикулярна ему, то эта прямая касательная к сфере.
Все касательные прямые, проходящие через одну точку сферы, лежат в одной плоскости,  касательной к этой сфере.
Отрезки касательных, проведенных из одной точки (лежащей вне сферы) к сфере, равны.   А, В, С — точки касания  ⇒   МА = МВ = МС