Самостоятельная работа № 2

Тема: Геометрическое изображение комплексного числа в тригонометрической форме.

Цель: закрепить знания и умения студентов по освоению действий с комплексными числами.

Теоритическое обоснование: Определение комплексного числа

Мы знакомы с действительными числами и с мнимыми единицами. Рассмотрим теперь числа нового вида.

Определение 1. Числа вида a + bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, будем называть комплексными.

Число a будем назвать действительной частью комплексного числа, bi – мнимой частью комплексного числа, b – коэффициентом при мнимой части. Возможны случаи, когда действительные числа a и b могут быть равными нулю. Если a = 0, то комплексное числоbi называется чисто мнимым. Если b = 0, то комплексное число a + bi равно a и называется действительным. Если a = 0 и b = 0 одновременно, то комплексное число 0 + 0i равно нулю. Итак, мы получили, что действительные числа и чисто мнимые числа представляют собой частные случаи комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называется алгебраической формой комплексного числа.

Два комплексных числа a + bi и c + di условились считать равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единице, т. е. a + bi = c + di, если a = c и b = d.

Действительные числа можно изобразить точками прямой линии, как показано на рисунке, где точка A изображает число 4, а точка B число -5. Эти же числа можно изображать также отрезками OA, OB, учитывая не только их длину, но и направление.

Каждая точка M числовой прямой изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок OM соизмерим с единицей длины, и иррациональное если несоизмерим). Таким образом, на числовой прямой не остается места для комплексных чисел.

Но комплексные числа можно изображать на числовой плоскости. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат, с одинаковым масштабом на обеих осях.

Комплексное число a + b·i изображается точкой M, у которой абсцисса x равна абсциссе a комплексного числа, а ордината y равна ординате b комплексного числа.

Геометрическое изображение суммы и разности комплексных чисел.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел позволяет наглядно истолковать сумму и разность двух комплексных чисел. Пусть даны два комплексных числа z1=a1+b1i и z2=a2+b2i. Их сум­мой будет комплексное число z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i. С дру­гой стороны, известно, что при сложении векторов их соответственные координаты складываются.

рис. 1 

рис. 2  

Поэтому, если вектор OA1 имеет коорди­наты (a1;b1) (рис. 1), а вектор OA2 - координаты (a2;b2), то их сумма (вектор OB) будет иметь координаты (a1+a2;b1+b2). Век­тор OB и есть геометрическое изображение суммы комплексных чисел z1 и z2.

Так как разность двух комплексных чисел z1=a1+b1i и z2=a2+b2i есть сумма комплексного числа z1 и числа, противопо­ложного комплексному числу z2, то геометрически ее можно изобразить как сумму вектора OA1 с координатами (a1;b1) и вектора OA2 с ко­ординатами (−a2;−b2)  (рис. 3), т. е. как вектор OB с координа­тами (a1−a2;b1−b2) .