Текст задания:

Задача 1. Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, точка М – середина стороны ВС.

1) Докажите, что МК ⊥ ВС

2) Найдите угол между прямой КМ и плоскостью АВС, если АК = а, ВС = 2а.

Задача 2. Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника  АВСD (рис. 1).

1) Докажите, что треугольники АМD и МСD – прямоугольные.

2) Найдите угол между прямой МD и плоскостью АВС, если СD = 3см,

АD = 4 см, МВ=5 см.

Рис. 1

Задача 3. Катеты прямоугольного треугольника АВ = 8 см и АС = 14 см перпендикулярны прямой АМ, на которой отмечена точка К, так что АК = 4 см. Найдите расстояние от точки К до середины гипотенузы.

Задача 4. К плоскости треугольника АВС, стороны которого АВ = 8 см, АС = 15 см, а угол между ними 120°, проведен перпендикуляр АМ = 42 см. Найдите расстояние от точки М до середины стороны ВС.

Задача 5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ укажите углы наклона диагонали B₁D к плоскостям граней, имеющих общую вершину В. Вычислите эти углы, если АВ = ВВ₁ = а, ВС = 2а.

Контрольные вопросы:

[2, стр. 311(9 – 18), 349(4,5)] [2, стр. 247] [2, стр. 263]

Самостоятельная работа № 15

Тема: Геометрические преобразования в пространстве

Цель: закрепить знания и умения студентов по освоению темы методом решения задач.

Теоритическое обоснование:

Преобразования пространства.  Центральная симметрия.

• Преобразованием пространства называется взаимно-однозначное отображение пространства на себя.

• Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно точки O, называется центральной симметрией пространства относительно точки O. При этом точка Oотображается на себя и называется центром симметрии.

Движения пространства и их общие свойства.  Симметрия относительно плоскости

• Преобразование пространства, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками, называется движением пространства.

• Фигура F₂ пространства называется равной фигуре F₁, если существует движение, отображающее фигуру F₁ на F₂.

• Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно плоскости α, называется симметрией пространства относительно плоскости α. Плоскость α называется плоскостью симметрии.

• Если фигура F при симметрии относительно некоторой плоскости α отображается на себя, то говорят, что эта фигура имеет плоскость симметрии (фигура F симметрична относительно плоскости α).

Параллельный перенос

• Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку М', что выполняется векторное равенство 

Поворот вокруг оси.  Осевая симметрия

• Поворотом пространства вокруг ориентированной прямой l на угол φ называется такое преобразование пространства, при котором каждая точка прямой l остается неподвижной и в каждой плоскости, перпендикулярной прямой l, индуцируется поворот ее на угол φ вокруг точки пересечения этой плоскости с прямой l.

• Поворот вокруг оси l на угол φ = 180° называется осевой симметрией пространства и обозначается S_l. Ось вращения называется осью симметрии. Таким образом, .

Гомотетия и подобие пространства

• Гомотетией пространства с центром O и коэффициентом k ≠ 0 называется преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку М', что Гомотетию с центромO и коэффициентом k обозначают H^k₀

• Подобием пространства с коэффициентом k (k >0) называется такое преобразование пространства, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в kраз, то есть для любых двух точек А и В длина отрезка А'B' равна k|AB|, где А' = Р_k(A) и B'= Р_k(В). Подобие пространства называют также преобразованием подобия. Если при этом подобии фигура F отображается на фигуру F', то пишут Р_k(F)=F' и говорят, что фигура F' подобна фигуре F.