gurtov_v_a_tverdotelnaya_elektronika

12.2. Квантовый эффект Холла

12.2.4. Число состояний для электронов на уровне Ландау

Найдем радиус орбиты Ландау в постранстве квазиимпульсов для электронов. Поскольку:

где p ,n — квазиимпульс электрона на орбите с номером n.

Из соотношения (12.37) следует, что орбита электрона в магнитном поле квантована по квазиимпульсу. Используя соотношение (12.31) для радиуса орбиты в

изменения разрешенных значений квазиимпульса для 2D-электронного газа при приложении магнитного поля. Оценим площадь кольца в p-пространстве между орбитами Ландау. Она равна:

нее эту площадь в p-пространстве занимали 2D-электроны, причем каждый электрон

Глава 12. Квантовый эффект Холла в двумерном электронном газе

занимал объем px· py = (2πħ)2 (при координатном объеме V = 1). Теперь все электроны из области между уровнями Ландау «сели» на один квантовый уровень Ландау с номером n. Отсюда число электронов, которое находится на одном уровне Ландау, обозначаемое значком G, будет:

Поскольку на уровне Ландау с одним и тем же значением энергии En может находиться несколько электронов, то этот уровень будет вырожденным. Величину G называют в связи с этим фактором (или степенью) вырождения уровня Ландау. По размерности и физическому смыслу фактор вырождения G определяется как число мест на единицу площади для электронов на уровне Ландау. Отметим, что степень вырождения уровня Ландау не зависит от его номера, а определяется только величиной индукции магнитного поля B.

12.2.5.Плотность электронов в 2D-электронном газе в сильном магнитном поле

Макроскопическим параметром, возможным для измерения в 2D-электронном газе в присутствии магнитного поля, является плотность электронов Гn, рассчитанная на единицу площади. Пусть заполнено i уровней Ландау, а у (i + 1) уровня заполнена только часть, обозначенная через ε. Тогда, согласно соотношению (12.41), число электронов Гn будет:

12.2.6.Эффект Холла для 2D-электронов в сильном магнитном поле

При исследовании эффекта Холла измеряемыми величинами являются холловское напряжение VH и ток канала I. Если разделить холловское напряжение VH на ток канала I, то полученная величина имеет размерность сопротивления, обычно называемого холловским сопротивлением Rxy:

Для слабых магнитных полей B без учета квантования по магнитному полю B зависимость холловского сопротивления Rxy от плотности электронов Гn — гиперболическая и гладкая функция от величины Гn. Экспериментально зависимость Rxy = f (Гn) наблюдается легко при изменении Гn путем вариации напряжения на затворе VG. При наличии квантования по магнитному полю число электронов Гn определяется выражением (12.42). Подставляя соотношение (12.42) в (12.43), получаем:

Контрольные вопросы

Из уравнения (12.44) следует, что в случае полного заполнения i-го уровня Ландау величина холловского сопротивления будет равна:

Отметим, что состояния полного заполнения i-го уровня Ландау по оси плотности электронов ничем, вообще говоря, не выделены по сравнению с не полностью заполненными уровнями. На рис. 12.8 приведены точками расчетные значения 1-го, 2-го, 3-го и т. д. уровней Ландау.

Рис. 12.8. Зависимость холловского сопротивления Rxy от избытка электронов Гn:

а) в отсутствие магнитного поля; б) расчетная зависимость, точками обозначены состояния полного заполнения уровней Ландау; в) экспериментальная зависимость

Экспериментальное исследование на холловских МДП-транзисторах показало, что на месте полного заполнения уровней Ландау возникают ступеньки на зависимости холловского сопротивления Rxy от избытка электронов Гn. Величина холловского сопротивления на этих ступеньках Rxy определяется только универсальными физическими постоянными — постоянной Планка h и зарядом электрона q. Само значение Rxy при i = 1 равно:

и в настоящее время служит в качестве эталона ома.

Появление ступенек на зависимости холловского сопротивления Rxy от величины избытка электронов Гn или индукции магнитного поля B получило название квантового эффекта Холла. Автор открытия, западногерманский физик Клаус фон Клитцинг удостоен Нобелевской премии 1985 года по физике.

Контрольные вопросы

12.1.Как меняется плотность квантовых состояний при переходе от трехмерного

кдвумерному и одномерному электронному газу?

12.2.Каковы уровни Ландау для двумерного электронного газа в сильном магнитном поле?

12.3.Почему холловское сопротивление для двумерного электронного газа в квантующих магнитных полях постоянно при некотором изменении концентрации носителей в инверсионном канале?

12.4.Какова точность эталона ома при использовании в качестве эталона ома квантового эффекта Холла?