gurtov_v_a_tverdotelnaya_elektronika

12.1. Двумерные электроны

Из (12.5) и (12.4) следует, что при каждом значении i = 0, 1, 2… электронный газ в ОПЗ двумерен, т. е. полностью описывается волновыми числами kx, ky и обладает, согласно (12.5), квазинепрерывным спектром энергии. Область энергий, которыми в соответствии с (12.5) может обладать электрон при данном квантовом числе i = 0, 1, 2…, называется поверхностной подзоной. Поверхностные подзоны представляют собой параболоиды вращения, отстоящие друг от друга по оси энергий на расстояние E = Ezi – Ez(i – 1). На рис. 12.1 приведена зонная диаграмма таких поверхностных подзон.

12.1.2. Плотность состояний в двумерной подзоне

ла не больше двух электронов. В двумерном k-пространстве объем элементарной ячейки:

Рассмотрим фазовый объем VФ кругового слоя в интервале от k до k + k. Он равен:

VФ = 2πkdk.

Тогда число электронов dn, находящихся в этом фазовом объеме, будет с учетом принципа Паули:

Учитывая квадратичный закон дисперсии E(k), для плотности состояний D (E ) в двумерной подзоне из (12.7) получаем:

Выражение (12.8) соответствует числу состояний на единичный энергетический интервал и на единицу площади ОПЗ толщиной λc, в которой локализован электрон. Чтобы получить плотность состояний D (E ) на единицу объема, для сравнения с объемной плотностью состояний, выражение (12.8) необходимо разделить на характерный размер λc локализации волновой функции в направлении z.

Из (12.9) видно, что следствием двумеризации электрона является независимость плотности состояния от энергии электрона в пределах одной квантовой подзоны. Напомним, что в трехмерном случае плотность состояний D(E ) пропорциональна корню квадратному из энергии D(E ) ~ E 1/2. При переходе от одной подзоны к другой меняется величина локализации волновой функции λ, а следовательно, и плотность состояний D (E ).

Глава 12. Квантовый эффект Холла в двумерном электронном газе

в инверсионном канале, вычисленная классическим образом и с учетом квантования при заполнении многих уровней в треугольной яме. Видно, что учет квантования приводит к большему значению по сравнению с классическим случаем и становится существенным:

а) при низких температурах; б) при высоких избытках;

в) при значительных величинах смещения канал-подложка.

λc, Å

NA = 1015 см–3

200

VSS = –0,3 В 0

0,3

150

1

100

4

9

50

16

Рис. 12.2. Величины среднего расстояния локализации λc электронов в ОПЗ в области слабой инверсии в зависимости от температуры T при различных величинах напряжения смещения канал-подложка. Сплошные линии — классический расчет по соотношению (3.42), пунктирная линия — квантовый расчет для многих уровней, штрихпунктирная линия — расчет по (12.23) в случае квантового предела

Квантовый предел

Квантовым пределом называется такое состояние электронного или дырочного газа в ОПЗ, когда заполнена только одна, имеющая номер i = 0, подзона поперечного квантования. В этом случае, используя вариационные методы, Стерн и Ховард получили аналитические выражения для вида волновой функции ξ0(z) и энергии уровня E0. Очевидно, что квантовый предел реализуется в области низких температур T и высоких значений электрических полей Es, когда расщепление по энергии у дна подзон поперечного квантования превышает тепловую энергию kT.

Для квантового предела Стерном и Ховардом [1, 29, 30] было получено, что энергия уровня E0:

12.1. Двумерные электроны

(12.25) решается с этим потенциалом ψвход(z), находятся величины Ei, ξi(z), затем по соотношениям (12.14) и (12.15) величина n(z). Полученное значение n (z) подставляют в уравнение Пуассона (3.6), решают его численными методами (обычно используют метод Рунге – Кутта) и находят новое значение выходного потенциала ψвых(z). Если величины ψвход(z) и ψвых(z) соответствуют друг другу с приемлемой разницей, самосогласованное решение найдено. Если же нет, то ψвых(z) заменяет входной потенциал ψвход(z) в системе (12.25) и совершается новый круг итерационного процесса. Метод самосогласованного поля позволяет находить значение энергии и вид волновых функций для любого числа подзон поперечного квантования.

На рис. 12.3 представлены в качестве примера величины энергии первых трех уровней, рассчитанных подобным образом. На рис. 12.4 приведены плотности распределения n(z), полученные с учетом квантовой и классической статистики. Обращает на себя внимание тот факт, что распределения n(z) для классического и квантового случая различаются очень сильно, особенно вблизи поверхности. Из рисунка видно, что квантовый предел качественно дает во многом подобную картину по распределению n(z), что и самосогласованный расчет.

12.1.5.Диаграмма состояния электронного газа в инверсионном канале

Рассмотрим диаграмму величин избытков свободных носителей Гn и температур T,

обычно варьируемых в эксперименте (Гp,n = 107×1013 см–2; T = 0÷400 К), и выделим области Гn и T, соответствующие различным состояниям электронного (или дыроч-

ного) газа в канале. За критерий отсутствия квантования примем малость дебройлевской длины волны, определяемой соотношением (12.1), по сравнению со средней толщиной инверсионного канала. В реальных ситуациях в инверсионных каналах квантование наступает раньше вырождения. За критерий вырождения возьмем условие пересечения уровнем Ферми на поверхности дна нулевой квантовой подзоны. Это приведет для двумерного газа, согласно (12.20), к условию:

На рис. 12.5 приведена диаграмма Гn и T, рассчитанная таким образом для ОПЗ кремния с NA = 1015 см–3.

Анализ диаграммы позволяет определить области температур и избытков Гn, где можно пользоваться анализом для треугольной ямы и в квантовом пределе. Поскольку для Гn > 1012 см–2 весь газ двумерен и вырожден, для этой области необходимо использовать самосогласованный расчет.

Таким образом, учет поперечного квантования в инверсионном канале приводит

кдвум основным следствиям:

1)плотность состояний в пределах одной квантовой подзоны не зависит от энергии и меняется при изменении толщины канала;

2)происходит уширение, по сравнению с классическим расчетом толщины инверсионного канала.

Глава 12. Квантовый эффект Холла в двумерном электронном газе

Рис. 12.5. Диаграмма, показывающая состояние электронного газа в инверсионном канале в зависимости от избытка электронов Гn и температуры T [38]

12.2. Квантовый эффект Холла

Рассмотрим гальваномагнитные эффекты, возникающие в сильных магнитных полях в двумерном (2D) электронном газе в инверсионых каналах МДП-приборов. Перераспределение носителей по энергии вследствие сильного электрического E и магнитного B поля проявляется в ряде экспериментально наблюдаемых особенностей поведения электронов в этом случае [7].

12.2.1. Зависимость ЭДС Холла от параметров инверсионного канала

Аппроксимируем распределение электронов по инверсионному каналу в виде плос-

кости с плотностью электронов на единицу площади Г . Длину и ширину канала

n

обозначим соответственно через L и W. Тянущее электрическое поле E будем считать

слабым. Магнитное поле с индукцией B направлено перпендикулярно инверсионному каналу. Схема измерения реализуется на МДП-транзисторах с холловской геометрией.

Величина тока I, протекающего во внешней цепи при напряжении Vds между истоком и стоком, будет определяться зарядом Q, прошедшим через сток за единицу

12.2. Квантовый эффект Холла

где Q(L = 1) — заряд электронов в инверсионном канале на единицу длины L канала. Величина тока I после преобразования соотношения (12.26) будет:

Соотношение (12.27) — хорошо известное выражение для тока канала в МДП-

Сила Лоренца, действующая на электроны в канале, с учетом направления B ,

В стационарном случае сила FH со стороны добавочного холловского поля EH будет уравновешивать силу Лоренца, а между холловскими контактами возникает разность потенциалов VH. Получаем:

Выражая из уравнения (12.28) значение скорости υd и подставляя в (12.29), получаем:

Из соотношения (12.30) следует, что для двумерного случая холловское напряжение VH, как и в трехмерном случае, определяется произведением тока I на индукцию магнитного поля B. Однако в двумерном случае постоянная Холла RH определяется концентрацией электронов на единицу площади Гn.

12.2.2. Циклотронная частота

В случае сильного магнитного поля B такого, что время релаксации между актами рассеяния τ существенно больше, чем период обращения электрона в магнитном поле, движение электронов значительно отличается от прямолинейного. При-

Частота вращения электрона в магнитном поле получила название циклотронной частоты ωc и, как видно из соотношения (12.31), будет равна:

Величина кванта энергии ћωc, соответствующего движению в магнитном поле B , равном 1 Тл, при эффективной массе, равной массе свободного электрона mn* = m0, будет ħωc ≈ 2·10–23 Дж = 10–4 эВ.

Глава 12. Квантовый эффект Холла в двумерном электронном газе

Следовательно, для произвольных значений индукции поля B и эффективной

Полезно отметить, что значения тепловой энергии kT при различных температурах T равны:

Из соотношения (12.33) и приведенной таблицы следует, что для наблюдения процессов, связанных с квантованием энергии в магнитном поле, необходимы, как правило, сверхнизкие температуры, ниже температуры жидкого гелия (T = 4,2 К).

12.2.3.Спектр энергии двумерных электронов в поперечном магнитном поле

Для двумерного электронного газа спектр энергий имеет вид:

где Ei — энергия дна поверхностных подзон, соответствующая номеру i. Движение электронов вдоль инверсионного канала остается свободным. При приложении магнитного поля B, перпендикулярного плоскости (x, y), происходит квантование по магнитному полю. Непрерывный спектр энергии E (k) для каждой i-й подзоны переходит в дискретный, возникают уровни Ландау:

На рис. 12.6 приведена зависимость E(k) при наличии и отсутствии магнитного поля. Из рисунка 12.6 видно, что при наличии сильного электрического поля в предельном случае низких температур двумерный электронный газ превращается в нульмерный электронный газ.

Рис. 12.6. Зависимость энергии E от волнового вектора k для двумерных электронов:

а) при отсутствии магнитного поля; б) в сильном магнитном поле