Теплопровідність плоскої стінки при граничних умовах третього роду

Нехай задано плоску стінку. Товщина стінки , величина постійна. Теплопровідність стінки, величина постійна.- середні температури рідин, величини постійні. Коефіцієнти тепловіддачі, величини постійні. Потрібно знайти тепловий потікта температури стінки з обох боків.

Густина теплового потоку, яка передається від більш нагрітої рідини до менш нагрітої рідини є величина постійна і однакова з обох сторін стінки. Тоді тепловий потік від гарячої стінки до холодної

Рис.7.4.До виводу рівняння теплопро-відності плоскої стінки.

густина теплового потоку через тверду стінку

густина теплового потоку від стінки до холодної рідини

Перепишемо ці рівняння відносно температури

Оскільки ці всі рівняння описують одне явище, то можемо скласти їх

звідси виразимо тепловий потік

де - термічний опір тепловіддачі від гарячої рідини до стінки,- термічний опір плоскої стінки,- термічний опір тепловіддачі від гарячої стінки до холодної рідини.

Величину - називають коефіцієнтом теплопередачі,. Ця величина розрахункова, її розраховують за рівнянням

Коефіцієнт теплопередачі показує яка кількість теплоти передається від гарячого теплоносія до холодного через одиницю поверхні, в одиницю часу при різниці температур між теплоносіями в 1 градус.

Враховуючи коефіцієнт теплопередачі основні рівняння теплопередачі можемо записати наступним чином

два останні рівняння є основними рівняннями теплопередачі. Згідно цих рівнянь густина теплового потоку пропорційна різниці температур між теплоносіями і поверхні теплопередачі.

Теплопровідність циліндричної стінки при граничних умовах першого роду

Під теплопередачею в циліндричній стінці розуміють таку теплопередачу, при якій тепло поширюється тільки по радіусу r (товщині), а по висоті і по азимуту (куту φ) поширенням теплоти нехтуємо. Задається, що

r –перемінний радіус, який змінюється від r₁ до r_2. (геометричні умови).

Фізичні умови:

λ –теплопровідність стінки.

Граничні умови:

Коли r =r₁, тоді t=t_1. Коли r =r₂, тоді t=t₂.

Необхідно знайти густину теплового потоку q_і закон зміни температури від

товщини стінки (r). В нашому випадку замість декартової системи координат краще застосувати циліндричну.

Оператор Лапласа

- умова плоскої стінки.

Запишемо рівняння в повних диференціалах:

Введемо нову зміну

Отже:

c₁,c₂–константи інтегрування, які знаходяться використовуючи граничні умови першого роду:

І, нарешті, маємо рівняння температурного поля в циліндричній стінці.

З рівняння Фур'є для стінки

Оскільки F=2πrl, тоді:

Це тепловий потік, який проходить через стінку.

Густина теплового потоку для внутрішньої стінки:

Для зовнішньої стінки:

Тобто, для криволінійної поверхні q не характеризує інтенсивність однозначно.

Введемо поняття лінійної густини теплового потоку:

Теплопровідність циліндричної стінки при граничних умовах третього роду

Граничні умови третього роду, це випадок, коли стінка занурюється у зовнішнє середовище, тобто омивається ним. Нехай стінка всередині контактує з рідиною, яка має температуру t_p1, тепловіддача теплоти від рідини до стінки характеризується α₁,ззовні стінка омивається холодною рідиною з температурою t_p2 і коефіцієнтом тепловіддачі α₂;

Таким чином, теплота віддається від гарячої рідини до стінки – це процес тепловіддачі. Далі ця ж теплота проводиться через циліндричну стінку шляхом теплопровідності.

Необхідно знайти в цих умовах залежність теплового потоку від теплопровідності стінок. Оскільки величина теплового потоку є величина стала і не змінюється, то

Перепишемо ці рівняння відносно різниці температур:

Складемо їх:

Позначимо через:

• –лінійний коефіцієнт теплопередачі, який характеризує

інтенсивність передачі теплоти від гарячої рідини до холодної через циліндричну стінку, що їх розділяє: [k_l]=Вт/(м·К).

Величина обернено пропорційна до лінійного коефіцієнту теплопередачі

називається лінійним термічним опором теплопередачі

Якщо тепло проводиться через багатошарову циліндричну стінку, тоді:

, величина R_l– повний термічний опір.