Умови однозначності

Приведені вище диференціальні рівняння теплопровідності це рівняння другого порядку в частинних похідних. Такі рівняння описують цілий ряд однакових по своїй суті явищ. Для виділення із цього ряду конкретного явища необхідно рівняння теплопровідності доповнити додатковими умовами – так званими умовами однорідності. Ці умови включають в себе:

1. Геометричні умови – форма і розміри тіла.

2. Фізичні умови – рід речовини і її фізичні константи: густина, теплоємність, теплопровідність.

3. Початкові умови.

4. Граничні (межові) умови – умови, що описують межову обстановку по границях тіла. Вони бувають:

1. Граничні умови першого роду – коли задається розподіл температур по поверхні тіла

.

2. Граничні умови другого роду – коли задається густина теплового потоку на поверхні тіла.

3. Граничні умови третього роду – коли задається закон взаємодії тіла з навколишнім середовищем.

де q – пропорційна різниці температур. - коефіцієнт тепловіддачі, який характеризує інтенсивність тепловіддачі – кількість теплоти, яка віддається 1поверхні в одиницю часу при різниці температур між стінкою та рідиною в один градус. Ця величина розрахункова.

Для того, щоб описати явище теплопровідності, необхідно записати рівняння теплопровідності, геометричні умови, фізичні умови, початкові та граничні умови.

Теплопровідність при стаціонарному режимі Теплопровідність плоскої стінки при граничних умовах першого роду

В теплопередачі плоска стінка – це така стінка, в якій тепло поширюється по товщині, а вздовж інших напрямків (висота, ширина) переносом теплоти нехтують через їх малу величину.

Для того, щоб описати явище теплопровідності, необхідно записати рівняння теплопровідності:

Коли температурне поле стаціонарне і однорідне: , то

Рис.7.1. До виводу рівняння тепло-провідності плос-кої стінки

(7.2)

Це рівняння необхідно доповнити:

1. геометричними умовами

2. фізичними умовами

3. початковими умовами

4. граничними умовами першого роду ,

Наведена систем рівнянь описує процес теплопровідності в плоскій стінці при граничних умовах.

Інтегрування цього рівняння дає наступне

де - константи інтегрування.

Рівняння виду - це рівняння прямої. Тобто температура змінюється по координатіпрямолінійно. Константи інтегрування знайдемо враховуючи граничні умови першого роду

при величинаі з рівняння

при величинаі рівняннянабуває вигляду

або

звідки

Підставивши значення констант в рівняннязнаходимо

Тоді

Знайдемо кількість переданої теплоти

де - теплопровідність стінки,- термічний опір стінки.

Густина теплового потоку прямо пропорційна різниці температур і обернено пропорційна термічному опору.

Теплопровідність багатошарової плоскої стінки

Стінка, що складається з різних за своєю природою шарів є багатошаровою (рис. 7.3). Тепловий потік через стінку буде

Перепишемо ці рівняння відносно різниці температур:

Рис.7.3. До виводу рівняння тепло-провідності плос-кої багатошарової стінки

Склавши всі рівняння та зробивши скорочення отримаємо

Звідки тепловий потік

З останнього рівняння можна знайти температури на границі між двома проміжними стінками