4.3.3. Вероятностные показатели

Расчетные методы определения вероятностных показателей надежности в зависимости от используемых математических средств можно подразделить на аналитические и имитационные.

Предварительно проанализируем вопрос о необходимой и достаточной номенклатуре определяемых показателей надежности систем, поскольку полный перечень их даже для абстрактного объекта достаточно велик и часть их может быть получена из других (см. гл. 3). Если рассматривается восстанавливаемый объект с L возможными состояниями, то как минимум требуется обычно определить L показателей – частоты попадания объекта в эти состояния или средние времена нахождения объекта в них. Если же необходимо знать еще и частоты того, из каких состояний объект переходит в данное, то минимальное число показателей возрастает до L(L1). Слово "минимальное" здесь имеет тот смысл, что нас не интересуют законы распределения времен нахождения объекта в тех или иных состояниях, а мы довольствуемся лишь средними временами нахождения объекта в этих состояниях или полагаем, что эти времена подчиняются экспоненциальным законам.

Для восстанавливаемого объекта, имеющего всего два состояния, минимальное количество показателей также равно двум. Это могут быть средние времена нахождения его в этих состояниях либо один из них в сочетании с комплексным показателем, например коэффициентом готовности (или неготовности), характеризующим одновременно и другое единичное свойство.

В случае невосстанавливаемого объекта минимальное число показателей сокращается и для объекта с двумя состояниями требуется всего один показатель.

4.3.3.1. Аналитические методы. Общий случай. Эти методы построены на использовании теорем теории вероятностей (сложения, умножения вероятностей, формулы полной вероятности и др.). С их помощью устанавливаются связи между вероятностями событий и состояний элементов с событиями и состояниями системы. В самом общем виде показатель безотказности – вероятность того, что система, находясь в состоянии , не снизит свой уровень работоспособности ниже-го уровня за заданное времяt – можно записать так:

P P при(4.25)

а показатель восстанавливаемости – вероятность того, что система, находясь в состоянии , за заданное времяt повысит уровень своей работоспособности выше -го уровня:

P P при(4.26)

Комплексный показатель – коэффициент готовности как вероятность застать систему в работоспособном состоянии -го уровня – определится как

P . (4.27)

В зависимости от способа представления функции системы и принимаемых допущений разработан ряд аналитических методов расчета показателей надежности для абстрактной системы.

4.3.3.2. Аналитический метод на основе марковского процесса. Процесс, протекающий в системе, называют марковским (или потоком без последействия), если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий момент и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние. Для того чтобы такой процесс протекал в системе, необходимы простейшие (пуассоновские, стационарные) потоки отказов и восстановлений элементов системы, т.е. с (законы распределения времени работы до отказа и времени восстановления элементов – экспоненциальные).

Экспоненциальность законов является первым допущением в этом методе, вторым – элементы могут находиться только в двух состояниях (работоспособном и неработоспособном). Искомые вероятностные показатели здесь определяются с использованием структурно-функционального представления системы в виде графа состояний и переходов (см. рис. 4.2 и 4.3).

Пусть процесс отказов и восстановлений элемента обладает свойствами марковского случайного процесса, а элемент может находиться в двух состояниях:  безотказной работы,  состоянии отказа (см. рис. 4.2). Определим соответствующие вероятности состояний элемента ив произвольный момент времениt при различных начальных условиях.

Для любого момента времени сумма вероятностей + вероятность достоверного события. Зафиксируем момент времени t и найдем вероятность pтого, что в моментэлемент находится в работоспособном состоянии. Это событие осуществляется при двух условиях.

1. В момент t элемент находился в состоянии и за времяне произошло отказа. Вероятность работоспособного состояния элемента определяется по правилу умножения вероятностей независимых событий. Вероятность того, что в моментt элемент был в состоянии , равна, а того, что за времяон не отказал . С точностью до величины высшего порядка малости можно записать

. (4.28)

Поэтому вероятность данной гипотезы равна .

2. В момент времени t элемент находится в состоянии (в состоянии отказа), за времявосстановление закончилось и элемент перешел в состояние. Эту вероятность также определим по правилу умножения вероятностей независимых событий. Вероятность того, что в момент времениt элемент находился в состоянии , равна, а вероятность того, что восстановление закончилось за время не более, определим из (3.22) какпри тех же допущениях, что и для (4.28). Следовательно, вероятность второй гипотезы равна

Вероятность работоспособного состояния элемента в момент определяется вероятностью суммы независимых несовместимых событий при выполнении обеих гипотез:

(4.29)

или

Устремляя t0, имеем

.

Следовательно, первое уравнение состояния будет выглядеть как

(4.30)

Проводя аналогичные рассуждения для второго состояния элемента – состояния отказа, можно получить второе уравнение состояния

(4.31)

Таким образом, для описания вероятностей состояний элемента получена система из двух дифференциальных уравнений (4.30) и (4.31).

Если имеется направленный граф состояний элементов системы, то систему дифференциальных уравнений для вероятностей состояний , можно сразу записать, пользуясь следующим простым правилом: в левой части каждого уравнения стоит производная, а в правой – столько составляющих, сколько ребер графа состояний типа 4.2 и 4.3 связано непосредственно с данным состоянием; если ребро оканчивается в данном состоянии, то составляющая имеет знак плюс; если начинается из данного состояния знак минус. Каждая составляющая равна произведению интенсивности потока событий, переводящего элемент или систему по данному ребру в другое состояние, на вероятность того состояния, из которого начинается ребро.

Решение системы уравнений, описывающих состояния одного элемента при начальных условиях , дает вероятность безотказной работы

(4.32)

и вероятность отказа

. (4.33)

Если в начальный момент времени элемент находился в состоянии отказа, т.е. , то

, (4.34)

. (4.35)

Для стационарного состояния вероятность безотказной работы равна стационарному коэффициенту готовности, а вероятность отказа – коэффициенту неготовности (вынужденного простоя):

, (4.36)

. (4.37)

Для стационарных состояний марковские процессы вырождаются в марковские цепи.

Уравнения марковских процессов дают возможность вычислять как вероятности состояний (например, коэффициенты готовности и неготовности), так и вероятность наступления тех или иных событий (например, вероятность безотказной работы или отказа). В последнем случае искомое событие связывают с попаданием системы в поглощающее состояние.

Таким образом, метод, использующий марковские процессы, позволяет строго и в общем виде получать решения, т.е. вероятности всех состояний и их изменения во времени.

Однако этот метод ограничен только экспоненциальными моделями элементов, существенный недостаток метода – большая размерность матрицы состояний . Например, для системы, состоящей всего из 10 элементов, порядок матрицы равен1024, что вызывает, с одной стороны, большие трудности в переборе всех состояний системы и определении коэффициентов перехода, а с другой создает и большие вычислительные трудности.

4.3.3.3. Аналитический логико-вероятностный метод. Такое название закрепилось за рассматриваемым методом, хотя любой метод расчета надежности содержит в себе и логическую и вероятностную части. Здесь же подразумевается, что метод основан на применении теорем теории вероятностей к функциям алгебры логики. Указанная основа метода предопределила принимаемые здесь допущения. В отличие от предыдущего метода предполагается, что не только элементы могут находиться в двух состояниях, но и сама система. Кроме того, этот метод в основном применим к системам, которые могут быть представлены сетевой структурой в смысле надежности.

Теоретически метод может быть применен к системе, времена безотказной работы и восстановлений элементов которой распределены по любому закону, однако практически он используется для систем с экспоненциально распределенными временами (с простейшим потоком отказов).

Таким образом, если структурно-функционально система описана функцией алгебры логики , то коэффициент готовности определяется как

P , (4.38)

где  функция работоспособности в момент времени t, а коэффициент неготовности

P (4. 39)

где  функция неработосособности в момент времени t.

В качестве другого основного показателя можно определять вероятность безотказной работы на интервале времени :

P , (4.40)

где  время до отказа, а  функция работоспособности системы на интервале времени .

Различие между (4.38) и (4.40) заключается в том, что в первом случае функция работоспособности системы примет значение 1 в заданный момент времени t, а во втором случае функция работоспособности будет равна единице на интервале времени до отказа.

Основная проблема использования соотношений (4.38) (4.40) состоит в том, что вероятностные показатели надежности системы зависят от вероятностных показателей состояний элементов.

В качестве примера определим вероятностные показатели надежности системы, состоящей из n последовательно соединенных в смысле надежности независимых элементов.

Функция работоспособности в момент времени t имеет вид

Коэффициент готовности

P .

На основе теоремы умножения вероятностей имеем

P (z = 1)=P P P .

Поскольку P то

. (4.41)

Коэффициент неготовности

. (4.42)

Если то

(4.43)

Ошибка последней формулы не превышает . Ее справедливость легко проверяется на численных примерах.

В

P

P

P

P

P

ероятность безотказной работы. Так как система проработает без отказа на интервале только при условии, что все ее элементы не откажут на этом интервале времени, то

при ;

(4.44)

Но P при вероятность безотказной работы i-го элемента, тогда

(4.45)

Если учесть (3.8), то

,

откуда

, (4.46)

т.е. интенсивность отказов системы, состоящей из n последовательно соединенных в смысле надежности независимых элементов, равна сумме интенсивностей отказов ее элементов.

Если элементы с простейшими потоками отказов, то и

. (4.47)

Аналогично вероятность отказа

(4.48)

При

(4.49)

с ошибкой, не превышающей . Замечание о справедливости (4.49) то же, что и для (4.43).

Р

P

P

P

P

P

ассмотрим в качестве еще одного примера систему, состоящую изn параллельно соединенных в смысле надежности независимых и невосстанавливаемых элементов. В данном случае для определения показателей надежности системы удобнее воспользоваться логической функцией неработоспособности на заданном интервале времени :

при ;

при

Но при, следовательно,

, (4.50)

(4.51)

У

P

P

P

P

сложним ситуацию иопределим показатели надежности системы, состоящей из двух параллельно соединенных независимых и восстанавливаемых элементов. Логическая функция работоспособности в заданный момент времени и неработоспособности

Коэффициент неготовности

Но P , следовательно,

. (4.52)

В случае n элементов коэффициент неготовности системы равен произведению коэффициентов неготовности элементов.

Соответственно коэффициент готовности для двух параллельно соединенных и восстанавливаемых элементов

. (4.53)

Определение вероятности безотказной работы системы для этого случая требует достаточно сложных выкладок и решения интегрального уравнения, поэтому здесь не рассматривается.

4.3.3.4. Аналитический метод на основе формулы полной вероятности. В случае сложной аварии может быть использован аналитический метод на основе формулы полной вероятности. При этом рассматриваются последствия отказов элементов системы в различных режимах с номерами j – нормальном, ремонтных и др. Наложения отказов элементов на режимы системы классифицируются как аварийные состояния с определенной степенью нарушения работоспособности системы: потеря генераторов, трансформаторов, линий, погашение секций шин, снижение располагаемой или выдаваемой мощности, дефицит мощности в системе, а также различные сочетания нарушений.

Аварии классифицируются по продолжительности ликвидации их последствий как кратковременные (оперативные переключения) и длительные (восстановительные ремонты). Последствия отказов устройств релейной защиты, противоаварийной автоматики и коммутационных аппаратов рассматриваются как развитие аварии.

Все элементы системы – генераторы, трансформаторы, линии, секции шин, выключатели, отделители, короткозамыкатели и др. – получают номера i. Для них задаются показатели надежности, например, , и т.д. Для устройств релейной защиты и противоаварийной автоматики, коммутационной аппаратуры задаются их номераs, а также  условная вероятность отказа устройства с номером s при условии, что отказал элемент в основной схеме с номером i.

Плановые и аварийные режимы учитываются отдельно, если они отличаются составом отключенных элементов. Нормальный режим по полной схеме системы получает номер j = 0. Для каждого режима задаются показатели и др.

Все множество режимов составляет полную группу событий, поэтому в соответствии с формулой полной вероятности

P_j = 1,

(4.54)

где r – число заданных режимов системы.

В

P

P

ероятность появления события (аварии)k-го вида в j-м режиме связана с вероятностью возникновения отказа i-го элемента, , формулой условной вероятности:

P (4.55)

где P  вероятность отказа i-го элемента в j-м режиме;

P  вероятность возникновения аварии k-го вида при условии отказа i-го элемента в j-м режиме. Индекс i = 0 присвоим вероятности отсутствия отказов.

Если в случае отказа i-го элемента в j-м режиме происходит действие или отказ s-го комплекта релейной защиты, то по формуле условной вероятности

P , (4.56)

г

P

P

P

P

деP  вероятность отказа срабатывания s-го комплекта релейной защиты в случае отказа i-го элемента в j-м режиме. Индекс s = 0 отнесем к правильным действиям устройств релейной защиты; m – число устройств.