В случае отказа коммутационных аппаратов вероятность p связана с вероятностью действий коммутационных аппаратов формулой условной вероятности

P (4.57)

г

P

P

дер = 0 относится к безотказному действию всех коммутационных аппаратов, v – число возможных сочетаний отказов в отключении одного или нескольких аппаратов одновременно. Сочетание отказов более трех коммутационных аппаратов – практически невозможное событие, вероятность которого близка к нулю.

При учете действия устройств противоаварийной автоматики (АПВ, УРОВ, АВР и др.) также по формуле условной вероятности имеем

P , (4.58)

где q = 0 относится к безотказному действию устройств противоаварийной автоматики; w – число возможных отказов этих устройств.

Таким образом могут быть получены вероятности различных аварийных ситуаций, возникающих в режиме j при отказе элемента i, последовавшем за ним отказе релейной защиты s, а далее отказе группы коммутационных аппаратов р и отказе противоаварийной автоматики q. Количество таких аварийных ситуаций определяется деревом развития аварии, когда на каждом этапе соответствующие устройства могут работать правильно или отказать.

Каждой из полученных аварийных ситуаций ставятся в соответствие ее последствия в виде, например, сохранения или нарушения питания потребителей, дефицита мощности, недоотпуска электроэнергии, ущерба и т.п. В результате получаем вероятностные характеристики последствий аварийных ситуаций в виде их частоты и/или глубины, и/или продолжительности и др.

4.3.3.5. Аналитический метод по схеме Бернулли. Часто приходится решать задачи по расчету показателей надежности, когда логическая часть либо весьма индивидуальна, либо крайне проста. Обычно в этих случаях логика укладывается в известные схемы: схема Бернулли или схема независимых испытаний, пуассоновский простейший поток и др.

Схема Бернулли предполагает проведение серии взаимно независимых испытаний, каждое из которых завершается успехом (в соответствии с заранее выбранным критерием) с вероятностью р или неудачей с дополнительной вероятностью q = 1  p.

Для такой схемы можно определить вероятность того, что при n опытах успешными будут k из них, а (n  k) – неудачными:

P , (4.59)

где

Если число успехов в n испытаниях обозначить величиной k, то эта величина случайная, а функция распределения ее будет , которую называют биномиальной. Слово "биномиальное" отражает тот факт, что (4.59) представляет собойk-й член биномиального разложения

. (4.60)

На основе схемы Бернулли можно решать многие задачи. Так, если полагать, что на подстанции работают n однотипных трансформаторов (т.е. имеем n испытаний), каждый из которых с вероятностью находится в работоспособном состоянии, а с вероятностью в неработоспособном, то вероятность того, что в определенный момент окажутся работоспособными k трансформаторов, будет определяться формулой (4.59), где

4.3.3.6. Аналитический метод на основе пуассоновского процесса. Пуассоновский процесс предполагает, что поток происходящих во времени событий обладает следующими свойствами:

 вероятность определенного количества событий пропорциональна длине интервала времени;

 вероятность двух и более событий за промежуток времени стремится к нулю, когда длительность этого промежутка времени стремится к нулю;

 количество событий, появляющихся на любых перекрещивающихся интервалах времени, независимо между собой.

Такой поток характеризуется параметром – среднее количество событий на интервале

(4.61)

где   частота появления события,  =  (см. (3.17)).

Для пуассоновского потока вероятность появления k событий на интервале времени t определяется как

(4.62)

Например, если предположить, что поток отказов трансформатора на подстанции пуассоновский, то вероятность безотказной работы трансформатора будет

,

что согласуется с ранее полученным выражением (3.17).

Если на подстанции n трансформаторов, то вероятность того, что на интервале времени t не откажет ни один из них,

(4.63)

а вероятность того, что откажет один трансформатор из всех, 

, (4.64)

и т.д.

4.3.3.7. Имитационный метод. Когда невозможно при существующих средствах получить решение аналитическими методами или решение крайне сложное, громоздкое, применяют имитационное моделирование, основанное на компьютерном представлении процессов в системе. Основу имитационных методов составляет метод статистического моделирования (метод Монте-Карло).

Процесс статистического моделирования представляет собой процедуру многократного повторения определенных внешних условий и взаимодействий элементов системы. В результате каждого такого опыта формируется конкретная реализация исхода испытания. После серии опытов исследователь получает некоторую выборку случайных реализаций, которые затем подвергает стандартным процедурам статистической обработки.

Таким образом, в этом методе моделирование рассматривается как последовательность экспериментов. В ходе данных экспериментов моделируются события, причем происходят они в моменты, определяемые случайными процессами с заданными распределениями вероятностей.

Основные этапы такого исследования: построение формальной модели, программное обеспечение процесса имитации траекторий модели, имитационные эксперименты.

Этап построения формальной модели сводится к составлению алгоритма формирования необходимой последовательности событий, а также к определению траектории движения объекта, полученной на основе ее характеристик.

Этап организации программного обеспечения заключается в создании компьютерной программы, позволяющей воспроизвести (имитировать) траекторию модели в соответствии с имеющимися закономерностями и найти соответствующие показатели работы модели, а также в создании программ работы с моделью.

Этап организации имитационных экспериментов – это работа с моделью (выбор способа обработки выходной информации для эффективного получения необходимых результатов, получение выходных показателей надежности на основе выбранного способа и т.д.).

В итоге процесс функционирования системы представляется цепью изменения ее состояний в случайные моменты времени

Схематически процесс функционирования для системы из n элементов показан на рис. 4.6, где приняты следующие обозначения:  момент k-го отказа элемента;  момент окончания k-го восстановления элемента;  интервал времени от момента (k-1)-го восстановления до момента k-го отказа элемента;  интервал времени от момента (k1)-го отказа до момента окончания k-го восстановления элемента. Указанные величины связаны между собой соотношениями:

Интервалы времени ипредставляют собой отдельные реализации непрерывных случайных величини, характеризующих время исправной работы и время восстановления элемента системы. На компьютере организуется генерация потоков случайных чисел, подчиненных заданным законам распределения времени работы и времени восстановления элементов (обычно равномерное распределение). На основании этих чисел формируются моменты времени по формулам (4.65).

(4.65)

Элемент

t

о

1

t

2

о

t

о

i

t

о

n

C

о

истема

t₁

t₂

t₃

t₄

t₅

Рис. 4.6.

Пусть повторяются испытания системы N раз. При каждом испытании будут получаться новые случайные моменты отказов и восстановлений элементов системы. Если из N испытаний система отказала M раз (на рис. 4.6 отказ системы показан в результате наложения отказов элементов 1, 2 и I ), то вероятность отказа системы за период t

(4.66)

Частота отказов

, (4.67)

где – число отказов системы при испытании.

Аналогично можно вычислить и другие показатели надежности системы.

Отметим преимущества и недостатки метода статистических испытаний. Его преимущества: позволяет полнее учесть особенности функционирования сложной системы, в том числе с зависимыми элементами, а также любые законы распределения случайных величин, имеет наглядную вероятностную трактовку, малую чувствительность к случайным сбоям компьютера в процессе решения; недостатки: частный характер решения, соответствующего фиксированным значениям параметров элементов и выбранным начальным условиям, и сильная зависимость точности и количества необходимых реализаций N от степени надежности элементов и системы.

Чем надежнее элементы и система, тем больше времени требуется для расчета. Минимальное число испытаний системы, обеспечивающее желаемую точность, определяется в процессе расчета. Число необходимых испытаний можно оценивать по формуле

, (4.68)

где  дисперсия ошибки, P ()  вероятность ошибки, большей .

У

P

казанные основные преимущества и недостатки метода определяют и область его применения. Это в основном исследовательские расчеты. Метод может быть эталонным и использоваться для оценки точности других приближенных методов.

Все рассмотренные методы оценки вероятностных характеристик системы на основе показателей надежности ее элементов предполагали однозначность исходной информации. В действительности же характеристики надежности элементов системы известны с определенной точностью, обусловленной достоверностью и объемом статистической информации, точностью их расчета и прогноза. В связи с этим выходные показатели надежности системы имеют неточность (неопределенность). Поэтому возникает задача оценки достоверности получаемых показателей надежности системы по данным о достоверности характеристик ее элементов. Возможны различные подходы к решению этой задачи: теория чувствительности, статистическое моделирование и др. Однако все эти подходы находятся пока в стадии разработки.