Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Калинин / Приборостроителям / Математика 1 (14)

.doc
Скачиваний:
13
Добавлен:
14.03.2016
Размер:
428.54 Кб
Скачать

Контрольная работа №1

Тема 1

Даны матрицы А, В, С. Найти матрицы А2, А2 + , АС, А-1 (с проверкой):

Решение

Матрица А2 определится как произведение матриц А и А:

Сумма матриц А2 и :

Произведение матриц А и С:

Нахождение матрицы, обратной к А:

Находим определитель матрицы А:

Выписываем транспонированную матрицу А:

Находим алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы:

Выписываем присоединённую матрицу к А:

Обратная к А матрица определяется как результат деления присоединённой матрицы на определитель матрицы А:

Проверка правильности нахождения обратной к А матрицы определяется путём умножения на матрицу А:

Результатом перемножения матриц, стала единичная матрица, следовательно, матрица А-1 обратная к матрице А.

Тема 2

Дана система линейных уравнений:

Доказать её совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Решение

Докажем совместность системы линейных уравнений:

Определим ранг матрицы коэффициентов, выполняя над ней элементарные преобразования:

Следовательно, ранг матрицы коэффициентов равен 3.

Определим ранг расширенной матрицы системы, выполняя над ней элементарные преобразования:

Следовательно, ранг матрицы коэффициентов равен 3.

Так как ранги матриц равны, то система совместна.

а) решаем систему методом Гаусса (для этого приведём матрицу к треугольному виду):

Отсюда делаем вывод о том, что х3 = 0, тогда х2 = -3, и вычисляя х1, получаем х1 = 0,2∙(8 + х2) = 0,2∙(8 + (-3)) = 0,2∙(8 - 3) = 0,2∙5 = 1.

б) решаем матрицу методами матричного исчисления, путём нахождения обратной матрицы и умножения её на матрицу свободных членов слева:

Вычисляем определитель матрицы коэффициентов:

Выписываем транспонированную матрицу А:

Находим алгебраические дополнения к элементам транспонированной матрицы:

Выписываем присоединённую матрицу к А:

Обратная к А матрица определяется как результат деления присоединённой матрицы на определитель матрицы А:

Умножаем полученную обратную матрицу на матрицу свободных членов слева:

Проверка подстановкой:

Вывод: решения найдены верно.

Тема 3

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между рёбрами А1А2 и А3А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) объём пирамиды; 5) уравнение прямой А1А2; 6) уравнение плоскости А1А2А3; 7) уравнение высоты, опущенной из вершины А4. Сделать чертёж.

1) А1(4; 6; 5), А2(9; 6; 4), А3(2; 10; 10), А4(7; 5; 9).

Решение

  1. Координаты вектора :

Длина вектора :

  1. Координаты вектора :

Длина вектора :

Косинус угла между векторами и :

угол между рёбрами А1А2 и А3А4 = arccos().

  1. угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3:

Определим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, как уравнение плоскости в которой три точки компланарны, для чего должен быть равен нулю следующий определитель:

Составим его из координат заданных точек:

Таким образом получили уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

Синус угла между плоскостью и прямой, лежащей вне плоскости определяется как:

Где уравнение прямой, проходящей через точки А1 и А4:

Откуда

Окончательно получаем:

Отсюда

  1. объём пирамиды:

определим координаты векторов :

Объём пирамиды, заданной тремя векторами, выходящими из одной точки (А1) определится как одна шестая объёма соответствующего параллелепипеда. Объём параллелепипеда заданного тремя векторами, выходящими из одной точки определяется как смешанное произведение этих трёх задающих векторов. Откуда получаем:

Таким образом ,объём пирамиды 20,5 куб. ед.

  1. уравнение прямой А1А2:

  2. уравнение плоскости А1А2А3 было определено выше

  3. уравнение высоты, опущенной из вершины А4.

Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3 определяется как уравнение прямой ,проходящей через точку А4 с направляющим вектором, нормальным плоскости грани А1А2А3. Отсюда каноническое уравнение высоты:

Сделаем чертёж

Тема 4

Дано комплексное число Z. Требуется: 1) записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения

1)

Решение

Преобразуем комплексное число в алгебраическую форму:

Преобразуем комплексное число в тригонометрическую форму:

По формулам преобразования:

Отсюда, с учётом знака:

Решениями данного уравнения будут три комплексных числа:

Контрольная работа № 2

Тема 1

Вычислить пределы:

Решение

2) Найти производные:

1.

2.

3.

4.

5.

Решение

1.

2.

3.

4.

5.

3) Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:

1.

2.

3.

Решение

1.

2.

3.

4) Провести полное исследование функции и построить графики:

1.

2.

Решение

1.

1. Областью определения данной функции является вся числовая прямая, за исключением точек х = 0 и х = -2, в которых знаменатель функции обращается в нуль.

2. Нулей функция не имеет, так как точка х = 0, не принадлежит области определения функции, а также ни при каких действительных значениях х, не равных бесконечности функция не принимает значения нуль.

3. Функция отрицательна при отрицательном знаменателе () и положительна при положительном знаменателе (вся остальная числовая прямая).

4. Функция имеет первую производную: которая не существует при тех же условиях, что и функция и равна нулю в точке х = -1, принадлежащей ОДЗ. Причём функция на интервале возрастает (производная положительна), а на интервале убывает (производная отрицательна).

5. Функция имеет вторую производную: которая не существует при тех же условиях, что и функция, и её первая производная и не равна нулю ни в какой точке, принадлежащей ОДЗ. Причём функция на интервале выпукла (вторая производная отрицательна) и вогнута на всей остальной числовой прямой.

6. Функция имеет вертикальные асимптоты х = -2 и х = 0, а также горизонтальную асимптоту y = 0, к которой функция приближается при стремлении аргумента к ±∞.

7. Построение графика функции.

2.

1. Областью определения данной функции является вся числовая прямая, за исключением интервала, ограниченного точками х = 0 и х = 3, в которых числитель или знаменатель функции обращается в нуль и между которыми значение аргумента функции отрицательно.

2. Нуль функции в точке х = 10,573, так как .

3. Функция положительна () и отрицательна при всех остальных значениях ОДЗ (вся остальная числовая прямая, за исключением интервала ).

4. Функция имеет первую производную: которая не существует при тех же условиях, что и функция и не равна нулю ни в какой точке, принадлежащей ОДЗ. Причём функция на интервале возрастает (производная положительна), а на интервале убывает (производная отрицательна).

5. Функция имеет вторую производную: которая не существует при тех же условиях, что и функция, и её первая производная и равна нулю в точке х = 1,5. Причём функция на интервале выпукла (вторая производная отрицательна) и вогнута на всей остальной числовой прямой.

6. Функция имеет вертикальные асимптоты х = 0 и х = 3, а также горизонтальную асимптоту y = 0, к которой функция приближается при стремлении аргумента к ±∞.

7. Построение графика функции.

Контрольная № 3

1) Вычислить неопределённые интегралы. В примерах п.1, п.2 результаты проверить дифференцированием:

1.

2.

3.

4.

5.

Решение

2) Вычислить определённые интегралы с помощью замены переменной:

1)

Решение

3) Вычислить приближённое значение определённого интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 равных частей.

Все вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.

Решение

4) Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость

1)

Решение

Соседние файлы в папке Приборостроителям