Калинин / Приборостроителям / Математика 1 (13)
.docКонтрольная работа по математике. Вариант 1.
1. Вычислить пределы:
;
;
.
Решение
Первый предел вычисляется непосредственно:
Для вычисления второго предела, в котором
получается неопределённость типа сумма
бесконечностей делится на бесконечность,
разделим числитель и знаменатель на
старшую степень числителя
и преобразуем:
Для вычисления третьего предела, также имеющего неопределённость типа ноль, умноженный на единицу, необходимо представить котангенс как отношение косинуса к синусу и разбить предел на произведение двух пределов и воспользоваться следствием из первого замечательного предела для отношения х синусу 3х:
2. Раскрыть неопределенность:
.
Решение
Для раскрытия данного вида неопределённости типа ноль делить на ноль, преобразуем тангенсы к отношениям синусов к косинусам и, преобразовав предел как произведение пределов, найдём их по отдельности, применив к пределу отношения косинусов правило Лопиталя-Бернулли, состоящее в нахождении по отдельности пределов от числителя и знаменателя и вычисления предела уже этих производных:
3. Найти производную функций:
;
;
;
.
Решение
Вычисляем первую производную как производную от суммы функций, используя то свойство, что константу можно выносить за знак производной:
Вычисляем вторую производную как производную от произведения функций:
Вычисляем третью производную как производную частного двух функций:
Вычисляем четвёртую производную как производную сложной функции:
4. Найти значение второй производной от функции в точке х = 0.
.
Решение
Найдём последовательно первую и вторую производные:
5. Исследовать на экстремум функции:
;
;
.
Решение
Экстремум функции будет наблюдаться в стационарной точке (первая производная равна нулю) в том случае, если вторая производная функции в этой точке отлична от нуля:
Отсюда вывод, что в точке х = -3,5 минимум функции.
Вторая функция:
Третья функция:
6. Исследовать функцию и построить ее график:
.
Решение
Данная функция определена на всём множестве действительных чисел.
Область значений также принадлежит множеству действительных чисел.
Данная функция является нечётной, так
как выполняется свойство
График функции пересекает ось у в
точке (0; 0). С осью х график функции
пересекается в точках (0; 0) и
.
Интервалы знакопостоянства: на интервалах
- функция положительна, а на интервалах
- отрицательна.
Стационарные точки функции:
В соответствии со знаками производной
функции делаем вывод, что на интервалах
функция убывает, а на интервале
- функция возрастает.
Отсюда вывод, что точка х = -1, точка минимума, а точка х = 1 – точка максимума.
Точками перегиба функции являются точки, в которых вторая производная равна нулю:
В точке х = 0 перегиб графика функции.
Так как у функции нет точек разрыва, то у графика функции отсутствуют вертикальные асимптоты, а так как на плюс-минус бесконечности значения функции принимают бесконечные значения, то и горизонтальных и наклонных асимптот тоже нет.
Построение графика функции:
