Основные теоремы о пределах последовательностей

1. Последовательность может иметь только один предел.

2. Последовательность, имеющая конечный предел, ограниченная; последовательность, имеющая бесконечный предел, неограниченная.

3. Необходимый и достаточный признак существования предела последовательности. Для того, чтобы последовательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы при задании любого как угодно малого положительного числаможно было указать такой ее член, что любые два члена, стоящие после, будут отличаться друг от друга на число, меньшее, т. е.

при и.

5.6. Понятие предела функции

● Функция приимеет предел А: , если при приближенииксоответствующие значения функцииподходят как угодно близко к числуА. При значениях функция может не принимать значениеА и вообще может быть не определена.

Точная формулировка. , если задав произвольное как угодно малое, можно указать такое число, что при любых значени- яхх в промежутке (кроме, может быть, значения) соответствующие значениябудут находиться в промежутке, т. е. как только, так.

Признак Коши. Для того чтобы функция имела предел при, необходимо и достаточно, чтобы для любых двух значений аргументаииз области задания функции и достаточно близких к, соответствующие значения функцииибыли сколь угодно близки между собой. Из формулировки теоремы следует, что как толькоитак выполняется условие.

Основные теоремы о пределах

1) Предел постоянной величины С равен этой величине: .

2) Если и– числа, то

3)

4) если

5)

6) Монотонная ограниченная функция имеет конечный предел при

любом значении х.

7) Если ии,

то .

Следствие. Чтобы вычислить предел, нужно заменить переменную величину ее предельным значением.

Примеры.

•

•

5.7. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

● Переменная величина α называется бесконечно малой при еслиОбозначение бесконечно малой:

● Переменная величина β называется бесконечно большой при еслиОбозначение бесконечно большой:

● Величина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой. Следовательно, если то

Если и– бесконечно малые величины приито они называютсяэквивалентными и обозначаются так:

при

Эквивалентные бесконечно малые при

● Если и– бесконечно большие величины приилиито они называютсяэквивалентными и обозначаются так: при.

Замечания.

1) Многочлен n-ой степени приявляется бесконечно большой величиной эквивалентной старшей степени с соответствующим коэффициентом:

при .

2) Если –const, то

3) Если –const, то

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

5.8. Виды неопределенности. Способы устранения неопределенности

№ п/п	Вид неопределенности	Способы устранения неопределенности
1		1. Разделить на старшую степень неизвестного в знаменателе. 2. Числитель и знаменатель заменить соответственно на эквивалентные б/б величины. 3. Правило Лопиталя:
2		1. Числитель и знаменатель разделить на что возможно, т. к. ии 2. Правило Лопиталя: 3. В произведении и частном одну б/м величину можно заменить на другую, ей эквивалентную
3		1. привести дроби к общему знаменателю и устранить полученную при этом неопределенностьили 2. домножить и разделить на величину, т. к.
4		Второй замечательный предел:
5		Далее надо устранить полученную неопределенность или
6		Обозначим и прологарифмируем обе части полученного равенства: В зависимости от полученного вида неопределенности применяют соответствующий метод устранения новой неопределенности (см. п. 5)

Примеры. Вычислить следующие пределы.

1) при

2) при

3)

4)

5)

6)

7)

получим:

Итак,

81