5.2. Некоторые классы функций

● Четные и нечетные функции

Рис. 25, а	Рис. 25, б
Функция называетсячетной, если для всехх из области определения. График чет-ной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 25, а)	Функция называетсянечет-ной, если для всехх из области определения. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 25, б)

Прочие функции не являются ни четными, ни нечетными, т. е. . Их графики не симметричны ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

● Периодические функции

Функция называется периодической, если существует такое постоянное число, чтов области определения функции. При этом наименьшее из таких чиселl называется периодом:

Так период функций иравен(рис. 26,а, 26, б). Период для функциии(рис. 26,в, 26, г).

● Монотонные функции

Функция называетсявозрастающей (убывающей) на интервале (а, b), принадлежащем области существования этой функции, если боль-шему значению аргумента х из этого интервале соответствует большее (мень-шее) значение функции. Это значит, что для возрастающей функции при значениях имеем неравенство(рис. 27,а), а в случае убывания – неравенству соответствует неравенство(27,б).

Рис. 27, а

Рис. 27, б

Если функцияопре-деленная на интервале, является только возрастающей или только убывающей на этом интервале, то она называетсямонотонной на интервале.

Ф

Рис. 27, в

ункция называетсякусочно-монотонной на интервале

(а, b), если на этом интервале существуют такие точки и, что, например, на интервалахифункция возрастающая, а на интервалефункция убывающая (рис. 27,в).

● Ограниченные функции

Функция , заданная на интервале (а, b), называется ограниченной на этом интервале, если существует такое число , что для всехх из данного интервала верно неравенство . Значит, график ограниченной функции лежит в полосе(рис. 28).

В

–М

областиопределения неограниченной функции существуют такие х, что для любого числа М будет верно неравенство: .На-пример, тригонометрические функции и ограничены на всейобласти их существова-ния и число М для них равно 1: и.

Н

Рис. 28

еограниченными являются функциии.

5.3. Основные элементарные функции

1. Степенная функция: , где α – действительное число.

2. Показательная функция: , где.

Показательная функция называетсяэкспонентной

3. Логарифмическая функция: ,. Функциюзаписывают в видеи называют натуральным логарифмом числах.

4. Тригонометрические функции:

, ,

5. Обратные тригонометрические функции:

, ,

5.4. Графики некоторых функций

5.5. Последовательности и их пределы

● Числовой последовательностью называется конечное или бесконечное множество чисел, расположенных в определенном порядке одно за другим. Числа, входящие в последовательность, называютсяее членами. Среди членов последовательности могут быть и одинаковые числа. Последовательность считается заданной, если известен закон (правило), по которому можно определить любой член последовательности. Этот закон является функцией натурального аргумента и записывается так: . Величинаназываетсяобщим (n-ым) членом последовательности.

● Если для данной последовательности существует числоА, к которому при увеличении n числаподходят как угодно близко, то такое числоА называется пределом данной последовательности и обозначается .

Точная формулировка.

Число А называется пределом числовой последовательности , если,

задавая произвольное, как угодно малое положительное число , можно указать в данной последовательности такое число , что все без исключения числа, где, будут по абсолютной величине отличаться отА меньше, чем на : для любого.

Случай, когда предел не существует вследствие того, что при увеличенииn неограниченно возрастает по абсолютной величине, обозначается следующим образом: (предел равен бесконечности).