4.5.2. Правило крамера

Если число n неизвестных системы линейных уравнений (2.1) совпадает с числом m уравнений, т. е. n = m, то существует определитель элементами которого являются коэффициенты при неизвестных. Этот определитель называетсяглавным определителем системы. Обозначим через определитель, получающийся из главного определителязаменойj-го столбца столбцом свободных членов, и назовем его вспомогательным. Например, вспомогательные определители

Теорема Крамера. Если главный определитель системы отличен от нуля, тосистема имеет единственное решение:

Следствия.

1) Если главный определитель и все вспомогательные определители системы равны нулю, то система имеет бесчисленное множество решений.

2) Если главный определитель системы равен нулю, но хотя бы один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то система несов-местна.

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Найдем главный и вспомогательные определители системы:

Так как то система имеет единственное решение:

С геометрической точки зрения полученное решение означает, что три плоскости, заданные соответствующими уравнениями системы, пересекаются в единственной точке

4.5.3. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Рассмотрим систему (2.1), в которой n линейных уравнений с n неизвестными Если– матрица системы, для которойа столбцевые матрицыисоставлены из неизвестных и свободных членов, то данную систему можно записать в матричной форме:В этом случаерешение системы равносильно решению матричного уравнения: где– матрица, обратная относительноА.

Пример. С помощью обратной матрицы решить систему уравнений

Решение. Заданную систему запишем в матричной форме ,

где

Матрица А системы неособенная, т. к. значит, существует обратная матрицагде

Затем находим обратную матрицу Искомая матрица

Из условия равенства матриц получим решение данной системы уравнений:

4.5.4. Метод последовательного исключения неизвестных

Рассмотренные методы (Крамера и матричный) применимы тогда, когда число уравнений и число неизвестных совпадают. Кроме того, требуется, чтобы соответствующий определитель системы был отличен от нуля. Если требуется найти все решения системы (2.1) с любым числом уравнений и любым числом неизвестных, то удобно применить метод последовательного исключения неизвестных. Он основан на элементарных преобразованиях системы. Назовем элементарными преобразованиями системы:

1) перестановку любых двух уравнений системы;

2) умножение обеих частей одного из уравнений на любое, отличное от нуля, число;

3) прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого, умноженных на любое число

4) удаление из системы тривиальных уравнений, т. е. уравнений вида решением которых является любой набор изn чисел.

Можно доказать, что элементарные преобразования переводят систему уравнений в эквивалентную данной (эквивалентные или равносильные системы имеют одни и те же решения).

Метод Жордана–Гаусса состоит в том, что неизвестное исключается во всех уравнениях с номерамиЭто означает, что и выше, и ниже главной диагонали расширенной матрицы системы нужно получить нули.

Пример. Решить методом Жордана–Гаусса следующую систему линейных уравнений:

Решение. Выпишем расширенную матрицу и элементарными преобразо-ваниями над строками приведем ее к диагональному виду:

Ответ:

Исследование системы (2.1) можно осуществлять и с помощью теорем Кренекера–Капелли.

Теорема 1. Для совместности системы (2.1) необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы, т. е.

Теорема 2. Если ранг r матрицы совместной системы равен числу n неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 3. Если ранг r матрицы совместной системы меньше числа n неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.