7.7. Криволинейный интеграл

7.7.1. Криволинейный интеграл первого рода

Выражение вида , где– линия интегрирования,– точка на плоскости или в пространстве, называется криволинейным интегралом первого рода (по длине дуги).

● Величина криволинейного интеграла не зависит от выбора направления, т. е. .

●С геометрической точки зрения криволинейный интеграл есть площадь цилиндрической поверхности, у которой образующая параллельна оси , а направляющей является дуга(рис. 42), т. е.

.

● Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла. При этом рассматриваются следующие случаи.

1) Кривая интегрирования задана параметрическими уравнениями:

Точки А и В задаются так:

Если ,,– непрерывно дифференцируемые функции, то

,

т. к. при параметрическом задании кривой интегрирования можно записать так:.

Частный случай. Если дуга кривой интегрирования лежит в плоскостито. В этом случае

2) Кривая интегрирования задана явно:где– непрерывно дифференцируемая функция:

3) Кривая интегрирования задана на плоскости в полярных координатах:, гдеи– непрерывно дифференцируемая функция.

7.7.2. Криволинейный интеграл второго рода

Выражение вида называется криволинейным второго рода (интегралом по координатам), гдеи– непрерывные функции,– кусочно-гладкая плоская кривая.

● Если изменить направление движения, то интеграл меняет знак на противоположный:

.

● Для вычисления криволинейного интеграла второго рода пользуются одной из следующих формул.

1) Кривая АВ задана параметрически уравнениями: ;. ТочкиА и В задаются так: ;. Еслии– непрерывно дифференцируемые функции, то

В частности, если кривая АВ задана в трехмерном пространстве, то аналогично случаю на плоскости получим:

2) Кривая АВ задана на плоскости явно, т. е. , где. При этом,.

110