6.8. Выпуклость, вогнутость.

Точки перегиба

График функции называетсявыпуклым (вверх) в интервале , если он расположен ниже касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

График функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала.

Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции

Если в интервале, то график функции выпуклый в этом интервале; если же, то в интервалеграфик функции – вогнутый.

Точкаграфика функции, отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба (рис. 3). Если– абсцисса точки перегиба графика функции, то вторая производнаяилине существует.

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ

7.1. Таблица интегралов от основных функций

1.	2. где						3.
4. где						5.
6.			7.				8.
9.			10.				11.
12.			13.				14.
15.					16.
17.					18.
19.					20.
21.		22.						23.
24.				25.
26.				27.
28.				29.
30.				31.

7.2. Определенный интеграл Свойства определенного интеграла

1.

2.

3.

4. (рис. 32,а)

5. (рис. 32,б).

6. Если на отрезке, то.

Если на отрезке, то.

7. Если выполняется условието(рис. 32,в).

8. Теорема о среднем

Если – непрерывна на, то существует на этом отрезке точкатакая, что.

Геометрически это означает, что существует такая точка , что прямоугольник с основаниеми высотойравновелик криволинейной трапеции (рис. 32,г).

0 а b х

х

у = f(х)

а б

в г

Рис. 32

7.3. Несобственные интегралы

Определение определенного интеграла было дано в предположении, что промежуток интегрирования конечен и функциянепрерывна на нем.

Мы рассмотрим два основных типа несобственных интегралов:

1. Интегралы с бесконечными пределами.

2. Интегралы от разрывных функций.

7.3.1. Интегралы с бесконечными пределами

Подинтегральная функция непрерывна на промежутках ,или на всей числовой оси.

По определению .

Если этот предел существует, то несобственный интеграл называетсясходящимся. Если же предел не существует, то несобственный интеграл не существует и называется расходящимся.

Примеры.

1. . Этот предел называется несобственным интегралом функциина бесконечном промежутке, а сам несобственный интегралназывается сходящимся.

2. несобственный интеграл функциина промежуткеравен бесконечности и он называется расходящимся. Аналогично определяются несобственные интегралы для непрерывной функции, заданной на промежуткеили:

; .

Замечания. 1) , гдеС – любая точка числовой оси . Этот несобственный интеграл является сходящимся, если оба слагаемых справа интеграла сходятся.

2) Для несобственных интегралов сохраняются свойства определенного интеграла:

● интеграл от четной функции на интервале можно свести к вычислению интеграла на интервале, а интеграл отнечетной функции на равен нулю. Поэтому, например,.