6.6. Наибольшее и наименьшее значения функции

Теорема. Непрерывная на отрезке функциядостигает наибольшего и наименьшего значений либо на концах отрезка, либо во внутренних относительно этого отрезка точках экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезкеобозначается соответственно и.Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, необходимо вычислить значения экстремумов на этом отрезке и значения функции на концах отрезка. Из полученных чисел выбрать самое большое и самое маленькое.

Теорема. Непрерывная в замкнутой области D функция достигает наибольшего и наименьшего значений либо на границе областиD, либо во внутренних относительно этой области точках экстремума, при этом наибольшее значение обо-значается , а наименьшее –.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, необходимо найти все экстремумы в этой области и определить наибольшее и наименьшее значения данной функции на границе. Из полученных таким образом чисел выбрать самое большое и самое маленькое.

Дифференциал первого порядка

Полный дифференциал первого порядка

Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал независимой переменной: .

Если приращение независимой переменной мало по абсолютной величине, то дифференциал функции и приращение функции, где

,

приближенно равны между собой, значит, .

Замечание. Приращение независимой переменной и ее дифферен-циал равны между собой, т. е. .

В случае непрерывности частных производных функция имеет полный дифференциал:

.

Разность между полным дифференциалом и полным приращением функции

есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с и. Следовательно,или

т. к.

Эта формула позволяет вычислить приближенное значение функции в «новой точке» , если известно ее значение и значение производной в точке, когдаприращение аргумента является достаточно малым.

Пример. Вычислить приближенно .

Решение. Выберем в качестве функции и, тогда– достаточно мало.

Далее определим: и. Пользуясь формулой, получим

.

Если известно значение функции и ее частных производных первого порядка в точке , когда приращения аргументовидостаточно малы, то по указанной формуле можно вычислить приближенно значение функции в новой точке.

Пример. Вычислить приближенно 1,02^3,01.

Решение. Рассмотрим функцию . Искомое число можно считать наращенным значением этой функции при. Первоначальное значение функции . Далее определяем и числовые значения этих производных в начальной точке: Окончательно получим: .