Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Волгоградский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0735409_F4E1E_spravochnik_po_matematike / Эл. м. 5.doc

Скачиваний:

Добавлен:

14.03.2016

Размер:

1.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

6.5.3. Возрастание и убывание функции

Функция называетсявозрастающей в интервале , если для любых двух точекииз указанного интервала, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство.

Функцияназываетсяубывающей в интервале , если для любых точекииз указанного интервала, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство.

Признаки возрастания и убывания функции.

1) Если для любого, то функциявозрастает на.

2) Если для любого, то функцияубывает на.

6.5.4. Экстремумы функции

● Дифференцируемая функция имеетминимум в точке если существует такая окрестность точки, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство(рис. 30,а).

Функция имеетмаксимум в точке если существует такая окрестность точки, что для всех точекиз этой окрестности выполняется неравенство(рис. 30,б).

Рис. 30, аРис. 30,б

● Рассмотрим функцию , дифференцируемую в некоторой области.

Минимумом функции называется такое ее значение, которое меньше всех других значений, принимаемых в точках , достаточно близких к точкеи отличных от нее (рис. 31,а), т. е. .

Максимумом функции называется такое ее значение, которое больше всех других значений, принимаемых в точках , достаточно близких к точкеи отличных от нее (рис. 31,б), т. е. .

Точки, в которых функция имеет минимум (максимум), называются точками минимума (максимума). Максимум и минимум называются экстремумами функции.

Признаки экстремума функции


1. Необходимый признак экстремума
Если дифференцируемая функция в точкеимеет экстремум, то производная функции в этой точке равна нулюТочканазывается критической точкой функции	Если дифференцируемая функция в точкеимеет экстремум, то ее первые частные производные равны нулю, т. е. если– точка экстремума функции, то –критическая точка функции
2. Достаточный признак экстремума
Если в точке производная функцииравна нулю и при переходе слева направо через эту точку меняет знак, тоявляется точкой экстремума, причем: 1) – точка максимума, если производная меняет знак с "+" на "–" . 2) – точка минимума, если производная меняет знак с "–" на "+" . 2* Достаточное условие экстремума можно выразить с помощью второй производной. Если в точке первая производная функцииравна нулю, а вторая производная отлична от нуля, тояв-ляется точкой экстремума, причем: 1) – точка минимума, если 2) – точка максимума, если	Пусть функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки. Если ее первые частные производные в точкеравны нулю, а вторые производные принимают значениято прив точкеминимум, а прив точкемаксимум функции. Если в точке, тоне является точкой экстремума. Еслив точке, то вопрос об экстремуме функции в этой точке не решен