Bilety / 17

Экстремумы функции Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a,b).

Определение 1. Точка х₀Î(a,b) называется точкой локального максимума (минимума) функции, если найдется некоторая окрестность этой точки, для всех точек которой будет выполняться условие:

().

Точки локального максимума и минимума называют точками экстремума.

Теорема 1 (необходимый признак экстремума функции). Если точка х₀ является точкой локального максимума (минимума) функции, то производная в этой точке равна нулю или не существует.

Доказательство. Пусть функция y=f(x) дифференцируема на (a,b), найдется число d такое, что:

" .

Дадим аргументу приращение Dx>0 так, что

.

Переходя к пределу при , получим

.

Дадим аргументу приращение Dx<0 так, что

.

Переходя к пределу при , получим

.

Эти неравенства выполняются одновременно только в двух случаях: а) ,

b) не существует.

Следствие. В точке экстремума касательная:

a) либо параллельна оси ОХ,

b)   либо не существует.

 

Данный признак не является достаточным для существования экстремума, т.е. из того, что производная равна нулю или не существует в некоторой точке, не следует, что в этой точке есть экстремум.

 

Точки, в которых первая производная равна нулю или не существует, называют критическими точками первой производной. Если функция имеет экстремумы, то они могут быть только в критических точках.

Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х₀ и дифференцируема в этой окрестности (за исключением, быть может, точки х₀).

Теорема 2 (достаточный признак экстремума). Если первая производная функции в точке х₀ равна нулю или не существует и при переходе через нее производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума, причем если знак меняется с ''+'' на ''-'', то это точка максимума, с ''-'' на ''+'' – точка минимума.

Доказательство. Пусть в точке х₀ производная дифференцируемой функции равна нулю или не существует и при переходе через нее производная меняет знак с ''+'' на ''-''.

возрастает на

убывает на

 

.

Следовательно, х₀ - точка максимума. Случай минимума рассматривается аналогично.