Bilety / 12

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть в интервале (a, b) задана функция f(x) и в каждой точке x О (a, b) существует производная f '(x). Таким образом в интервале (a, b) задана функция y = f '(x) .

Если первая производная функция y = f '(x) дифференцируема в интервале (a, b), то ее производная называется второй производной функции f(x).

Вторая производная обозначается символами f ''(x) или  

d2 f

dx2

.

Вообще, производной n–го порядка функции f(x), называется производная от производной функции f(x)   (n − 1)–го порядка. Производная n–го порядка обозначается f(n) (x).

Замечание. Если речь идет о производной n–го порядка ( n = 2, 3, … ) в фиксированной точке x0, то для существования f(n) (x0) необходимо существование f(n − 1) (x) не только в точке x0, но и в некоторой ее окрестности. При этом условии

 

f(n) (x0) =   d dx   f(n − 1) (x0).

 

Функция, имеющая в точке производную n–го порядка, называется n раз дифференцируемой в этой точке.

Функция, имеющая в точке производные всех порядков, называется бесконечно дифференцируемой в этой точке.

Формулы для производных n–го порядка суммы и произведения функций

Если функции u(x) и v(x) n раз дифференцируемы на некотором промежутке, то производная n–го порядка суммы определяется формулой

 

( u + v )(n) = u(n) + v(n) ,

 

а производная n–го порядка произведения определяется формулой Лейбница

 

( u · v)(n) = u(n) · v + n u(n − 1) · v' +   n(n − 1) 2!   u(n − 2) · v'' + … + u · v(n) .

 

Формула Лейбница может быть записана в виде

 

(u · v)(n) =   n ∑ k = 0   Cnk · u(n − k) v(k) ,

 

где u(0) = u(x), v(0) = v(x) и Cnk =  

n!

k! (n − k)!

  — биномиальные коэффициенты.

Дифференциалы высших порядков

Пусть в интервале (a, b) задана дважды дифференцируемая функция y = f(x), где x — независимая переменная.

Фиксируем приращение dx = Δx независимой переменной x, т.е. будем считать первый дифференциал

 

dy = f'(x) dx

(1)

 

функцией только переменной x.

Дифференциал от первого дифференциала, при условии, что повторное приращение независимой переменной x совпадает с первоначальным, называется вторым дифференциалом функции f(x) в точке x и обозначается d2 f(x).

Дифференцируем выражение в правой части (1) как произведение

 

d2 f(x) = d (df(x) ) = d (f'(x) dx) = f''(x) dx · dx + f'(x) · d(dx) .

 

Учитывая, что d (dx) = 0, получаем формулу для вычисления второго дифференциала

 

d2 f(x) = f ''(x) dx2 .

(2)

 

Пусть в интервале (a, b) функция f(x) имеет производные до n–го порядка включительно.

Дифференциалом n–го порядка называется дифференциал от дифференциала (n − 1)–го порядка

 

dn f(x) = d (d(n − 1) f(x)).

 

Формула для вычисления дифференциала n–го порядка

 

dn f(x) = f(n) (x) dxn .

 

Неинвариантность формы дифференциала порядка выше первого

Рассмотрим случай, когда х является не независимой переменной, а функцией от другой переменной

 

y = f(x),     x = j(u).

 

В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем

 

dy = f '(x) dx.

(3)

 

Теперь в правой части формулы (3) от переменной u зависит не только функция f(x), но и дифференциал dx . Следовательно

 

dx = j '(u) du,     d2 x = j''(u) du2 .

 

Таким образом, в общем случае

 

d2 y = f''(x) dx2 + f'(x) d2 x.

(4)

 

Сравнивая формулы (2) и (4), убеждаемся, что дифференциалы второго (и более высоких порядков) не обладают инвариантностью формы.

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций. Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей: Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x. Отсюда видно, что искомая производная равна

Пример 1

Вычислить производную функции . Решение. Применяем логарифмическое дифференцирование: