Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Bilety / 16

.docx
Скачиваний:
53
Добавлен:
14.03.2016
Размер:
44.88 Кб
Скачать

Признаки постоянства, возрастания и убывания функции

Необходимое и достаточное условие постоянства функции у = f(x) выражается равенством у' = 0

Функция у = f(x) называется возрастающей в промежутке (а, b), если для любых двух значений x1 и х2 из неравенства x1 < x2 следует неравенство f(x1) < f(x2)(а).

Функция у = f(x) называется убывающей в некотором промежутке, если для любых двух значений, принадлежащих этому промежутку, из неравенства х1 < х2 следует неравенство f(x1) > f(x2) (б).

Достаточное условие возрастания или убывания функции выражается следующей теоремой.

Теорем. Если на данном промежутке производная положительна, то функция возрастает в этом промежутке; если производная функции отрицательна, то функция убывает.

Замечание. Теорема имеет простой геометрический смысл. Если в некотором промежутке касательная к графику функции у = f(x) образует с осью Ох острый угол a (tg а > 0), то функция возрастает в этом промежутке (а). Если касательная к графику образует с осью Ох тупой угол a (tg а < 0), то функция убывает (б).

1. Признак постоянства функции.

Если на некотором промежутке производная тождественно равна нулю, то функция на этом промежутке постоянна.

Доказательство. Будем понимать заданную функцию  у = f(x)  как закон движения материальной точки  Р  по оси  у.  Если производная обратилась в нуль, то точка  Р  остановилась. Если производная все время равна нулю, то точка  Р  все время стоит на месте, а тогда функция  у  является постоянной, что и требовалось доказать. Заметим, что верна и обратная теорема: если функция постоянна, то ее производная равна нулю. Производную постоянной функции мы вычислили ранее. Таким образом,  f = const

Соседние файлы в папке Bilety