Bilety / 16
.docxПризнаки постоянства, возрастания и убывания функции
Необходимое и достаточное условие постоянства функции у = f(x) выражается равенством у' = 0
Функция у = f(x) называется возрастающей в промежутке (а, b), если для любых двух значений x1 и х2 из неравенства x1 < x2 следует неравенство f(x1) < f(x2)(а).
Функция у = f(x) называется убывающей в некотором промежутке, если для любых двух значений, принадлежащих этому промежутку, из неравенства х1 < х2 следует неравенство f(x1) > f(x2) (б).
Достаточное условие возрастания или убывания функции выражается следующей теоремой.
Теорем. Если на данном промежутке производная положительна, то функция возрастает в этом промежутке; если производная функции отрицательна, то функция убывает.
Замечание. Теорема имеет простой геометрический смысл. Если в некотором промежутке касательная к графику функции у = f(x) образует с осью Ох острый угол a (tg а > 0), то функция возрастает в этом промежутке (а). Если касательная к графику образует с осью Ох тупой угол a (tg а < 0), то функция убывает (б).
1. Признак постоянства функции. |
Если на некотором промежутке производная тождественно равна нулю, то функция на этом промежутке постоянна. |
Доказательство. Будем понимать заданную функцию у = f(x) как закон движения материальной точки Р по оси у. Если производная обратилась в нуль, то точка Р остановилась. Если производная все время равна нулю, то точка Р все время стоит на месте, а тогда функция у является постоянной, что и требовалось доказать. Заметим, что верна и обратная теорема: если функция постоянна, то ее производная равна нулю. Производную постоянной функции мы вычислили ранее. Таким образом, f = const |