Bilety / 20

Теорема об общем виде первообразной функции. Неопределенный интеграл, его геометрический и механический смысл. Свойства неопределенного интеграла. Примеры.

№2 Неопределенный интеграл и его свойства

Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти F(x), зная ее производную f(x).

Функция F(x) называется первообразной, если выполняется равенство F’(x)=f(x).

Если F(x) одна из первообразных функции f(x), то любая первообразная функции f(x) на этом промежутке имеет вид F(x)+C, где С€R.

Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом

Свойства:

– неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого в отдельности;

– постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

Механический смысл определенного интеграла

Пусть материальная точка М ᴨȇремещается под действием силы , направленной вдоль оси Ох и имеющей ᴨȇременную величину F = F(x), где х - абсцисса движущейся точки М.

Найдем работу А силы по ᴨȇремещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (a < b). Для этого отрезок [a; b] точками а = х₀, х₁, ..., b = х_n (х₀< х₁<...< х_n) разобьем на n частичных отрезков [х₀; х₁], [х₁; х₂], ..., [х_n-1; х_n]. Сила, действующая на отрезке [х_i-1; х_i], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка Дх_i = х_i - х_i-1 достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке х = c_i [х_i-1; х_i]. В связи с этим работа, совершенная этой силой на отрезке [х_i-1; х_i], равна произведению F(c_i)•Дх_i. (Как работа постоянной силы F(c_i) на участке [х_i-1; х_i]).

Приближенное значение работы А силы на всем отрезке [a; b] есть

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Дх_i. В связи с этим за точное значение работы А принимается предел суммы при условии, что наибольшая длина л частичных отрезков стремится к нулю:

Итак, работа ᴨȇременной силы , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующая на отрезке [a; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезу [a; b].

В этом состоит механический смысл определенного интеграла.

Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному интегралу от скорости v(t):

масса т неоднородного стержня на отрезке [a; b] равна определенному интегралу от плотности г(х)

Примеры решения интегралов

Пример 2: Решение:

Пример 4: Решение:

В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения

Интегралы. Основные свойства.

I. (∫f (x) dx)'=f (x).

II. d∫f (x) dx=f (x) dx.

III. ∫dF (x)=F (x)+C  или   ∫F'(x) dx=F (x)+C.

IV. ∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx, где k - постоянная величина, не равная нулю.

V. ∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx.

VI. Если F (x) есть первообразная для f (x), а k и b - постоянные величины,

причем, k≠0, то (1/k)·F (kx+b) есть первообразная для f (kx+b).

Справедливо равенство:

Примеры. 

Найти следующие интегралы и сделать проверку.

1) ∫(2x – 3) dx. Используем свойства V и IV, формулы 1). и 3).

(Наш лист Интегралы)

∫(2x – 3) dx = 2∫xdx - 3∫dx = 2·x²/2  – 3x + C = х² – 3х + С.

Проверка.   F'(x) = (х² – 3х + С)' = 2x – 3 = f (x).

2). ∫(2x – 3)²dx.  Преобразуем подынтегральную функцию по формуле ФСУ (формулы сокращенного умножения): (a – b)² = a² – 2ab + b², а затем используем те же свойства и формулы, что и в примере 1).

∫(2x – 3)²dx =∫( 4x² – 12x + 9) dx = 4∫x²dx — 12∫xdx + 9∫dx =

= 4·x³/3 — 12· x²/2 + 9x + C = ( 4/3) x³ – 6x² + 9x + C.

Проверка.   F'(x) = ((4/3) x³ – 6x² + 9x + C)' =(4/3)  · 3x² — 6·2x + 9 = 4x² – 12x + 9 = (2x – 3)² = f (x).

Решим пример 2) вторым способом - подведения под знак дифференциала.

Итак, требуется найти  ∫(2x – 3)²dx.

Будем использовать формулу 1). Вместо u у нас (2х – 3) и, по формуле 1), переменная интегрирования должна быть такой же, как и основание степени, т. е (2х – 3). Хорошо,  вместо dx запишем d(2x – 3). И что изменилось? d (2x – 3) = 2dx, т.е. подынтегральное выражение стало больше в 2 раза. Разделим его на 2. Для этого перед значком интеграла поставим множитель ½.

Значит,∫(2x – 3)²dx = (½)∫( 2x – 3)² d (2x – 3).     Мысленно представляйте себе u² вместо

(2х – 3)²  и du вместо d(2x – 3). Увидели ∫u²du ?  И что получится? Верно:  u³/3+ C.

«Долго сказка сказывается…», а решаются такие примеры быстро:

∫(2x – 3)²dx =  (½)∫(2x – 3)² d (2x – 3) =(½) ·(2x-3)³/3  + С =(1/6) · (2х – 3)³ + С.

Проверка.   (F (x)+С)′ = ( 1/6· (2х – 3)³ + С)' =  (1/6)· 3 (2x – 3)² · 2 = (2x – 3)² = f (x).

Сравните эти два способа решения примера 2. Что, не впечатлил второй способ? Тогда пример 3).

3) ∫(2x – 3)⁷dx.   Желаете возводить (2х – 3) в седьмую степень? А-а, то-то же!

Решаем способом подведения под знак дифференциала, т.е. вторым способом так же, как предыдущий пример.

∫(2x – 3)⁷dx =  (½)∫(2x – 3)⁷d (2x – 3) =  (½)· (2x – 3)⁸ /8 + C =(1/16) (2x – 3)⁸ + C.

Проверка. F'(x) = ((1/16)(2x – 3)⁸ + C)' =(1/16) ·8 (2x – 3)⁷·2 = (2x – 3)⁷ = f (x).