Bilety / 13

Теорема 18.2 (Первое следствие теоремы Лагранжа)

(Критерий постоянства функции на промежутке).

Пусть существует множество , и для всякого значение производной равно 0. Тогда данная функция является постоянной, т.е. .

Доказательство

. Очевидно, что .

. Достаточно доказать, что . Ранее доказано (14.2), что из дифференцируемости функции в точке следует ее непрерывность. Поэтому , и, в частности, . Так как и . Значит, по теореме Лагранжа, такое, что , т.к. . Следовательно, .

Данное следствие часто называется основной леммой интегрального исчисления.

Замечание

Если X состоит из нескольких отрезков, то функция будет постоянной на каждом из этих отрезков, но эти постоянные могут быть не равны.

 

Теорема 18.3 (Второе следствие теоремы Лагранжа)

Если для любого значение производной больше 0, то эта функция возрастает на интервале . (Если меньше 0 - убывает).

Доказательство

Пусть существуют такие, что . Функция непрерывна на отрезке , так как она дифференцируема на и . Тогда , т.е. дифференцируема и на . Значит, по теореме Лагранжа, . Так как всегда , то значение непосредственно зависит от значения производной. То есть знак функции совпадает со знаком производной.