
Bilety / 17
.docxЭкстремумы функции Пусть функция y=f(x) определена на интервале (a,b).
Определение 1. Точка х0Î(a,b) называется точкой локального максимума (минимума) функции, если найдется некоторая окрестность этой точки, для всех точек которой будет выполняться условие:
(
).
Точки локального максимума и минимума называют точками экстремума.
Теорема 1 (необходимый признак экстремума функции). Если точка х0 является точкой локального максимума (минимума) функции, то производная в этой точке равна нулю или не существует.
Доказательство.
Пусть функция
y=f(x)
дифференцируема
на (a,b),
найдется
число d
такое, что:
"
.
Дадим аргументу
приращение
Dx>0
так, что
.
Переходя к пределу
при
,
получим
.
Дадим аргументу
приращение Dx<0
так, что
.
Переходя к пределу
при
,
получим
.
Эти неравенства
выполняются одновременно только в двух
случаях:
а)
,
b)
не существует.
Следствие. В точке экстремума касательная:
a) либо параллельна оси ОХ,
b) либо не существует.
Данный признак не является достаточным для существования экстремума, т.е. из того, что производная равна нулю или не существует в некоторой точке, не следует, что в этой точке есть экстремум.
Точки, в которых первая производная равна нулю или не существует, называют критическими точками первой производной. Если функция имеет экстремумы, то они могут быть только в критических точках.
Пусть функция y=f(x) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х0 и дифференцируема в этой окрестности (за исключением, быть может, точки х0).
Теорема 2 (достаточный признак экстремума). Если первая производная функции в точке х0 равна нулю или не существует и при переходе через нее производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума, причем если знак меняется с ''+'' на ''-'', то это точка максимума, с ''-'' на ''+'' – точка минимума.
Доказательство. Пусть в точке х0 производная дифференцируемой функции равна нулю или не существует и при переходе через нее производная меняет знак с ''+'' на ''-''.
возрастает на
убывает на
.
Следовательно, х0 - точка максимума. Случай минимума рассматривается аналогично.