1.2.2. Действительные числа

• Числовой осью называется прямая, на которой заданы две точки: нуль и единица. Расстояние между этими точками называется единицей масштаба. Слева от нуля располагаются отрицательные числа. Каждому рациональному числу а ставится в соответствие точка числовой оси, имеющая координату а (рациональная точка).

• Однако на числовой оси можно указать точки, не являющиеся рациональными. Например, точка, отстоящая от нуля на расстояние, равное диагонали квадрата со стороной единица, не может быть рациональной. Действительно, если предположить, что гдер и q взаимно простые числа, то Следовательно,– четное и делится на 4. Но тогдар и q – четные, а дробь сократимая. Это противоречит предположению, чтор и q – взаимно простые и дробь несократимая. Итак, кроме рациональных чисел существуют числа, не являющиеся рациональными. Они называютсяиррациональными. Иррациональное число можно записать в форме бесконечной десятичной непериодической дроби.

• Рациональные и иррациональные числа в совокупности называются действительными или вещественными. Можно доказать, что каждому действительному числу соответствует только одна точка числовой оси, и каждой точке числовой оси соответствует только одно действительное число.

• Действительные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими называются числа, которые являются корнями алгебраических многочленов с целыми коэффициентами. Например, 0, 1, – алгебраические числа.

Неалгебраические числа называются трансцендентными. Примеры трансцендентных чисел: логарифмы целых чисел.

1.2.3. Комплексные числа

• Действие извлечения корня квадратного из отрицательного действительного числа на множестве действительных чисел невозможно. В связи с этим формально вводится понятие мнимой единицы i как числа, квадрат которого дает –1, т. е. .

• Комплексными называются числа вида где α и β – действительные числа;i – мнимая единица. Число α называется действительной частью комплексного числа а; βi – его мнимой частью; β – коэффициентом при мнимой части.

Обозначения: .

Если , то(действительные числа – частный случай комплексных чисел); если, то(«чисто мнимые» числа).

• Действительные части комплексных чисел (действительные числа) изображаются точками оси абсцисс (действительная ось). Чисто мнимые числа (коэффициенты при мнимых частях) изображаются точками оси ординат (мнимая ось). Комплексные числа изображаются точками плоскости: число изображается точкой с абсциссой α и ординатой β (рис. 1).Каждому комплексному числу соответствует радиус-вектор точки а. Гео-

метрически два комплексных числа равны, если равны изображающие их векторы. Следовательно, два комплексных числа считаются равными, если соответственно равны ихвещественные части и коэффициенты при мнимых ча-стях: еслии

Формы записи комплексных чисел.

Выражение комплексного числа называетсяалгебраической формой его записи. Если считать: (см. рис. 1), то комплексное число(одновременно) может быть единственным образом записано в виде, называемомтригонометрической формой комплексного числа; r – длина соответствующего радиус-вектора – называется модулем комплексного числа и обозначается угол φ –аргумент комплексного числа – обозначается .

• Переход от алгебраической формы комплексного числа к еготригонометрической форме осуществляется по формулам:

Замечание. Число нуль имеет модуль, равный нулю; его аргумент– величина неопределяемая.

Показательная форма. Часто применяется следующая форма записи комплексного числа а с модулем r и аргументом φ: называемая показательной формой его записи. Так, например, число, модуль которогои аргумент, можно записать так:

алгебраическая форма: ,

тригонометрическая форма: ,

показательная форма: .