13.1. Достаточное условие разложения функции в ряд Фурье
Если
функция
кусочно-дифференцируема на отрезке
,
то ее ряд Фурье сходится в каждой точке
,
и имеет сумму
.
На концах отрезка сумма ряда Фурье определяется формулой:
.
Кроме того, если – точка непрерывности , то
.
Пример
18. Разложить
в ряд Фурье периодическую и заданную в
интервале
функцию
Построить график функции и второй
частичной суммы
ее разложения в ряд Фурье.
Решение. Данная функция имеет одну точку разрыва первого рода при , а точки экстремума отсутствуют. Следовательно, данная функция удовлетворяет условиям Дирихле и может быть представлена рядом Фурье.
Интервал
симметричен относительно начала
координат и на этом интервале
,
следовательно, данная функция нечетная
и ее ряд Фурье не содержит косинусов,
так как коэффициенты Фурье
.
Найдем
коэффициенты
:
Разложение данной функции в ряд Фурье запишется следующим образом:
Д
алее
построим график данной функции (рис.
46, а).
Рис. 46, а
Для того чтобы выяснить, каким образом график функции приближается графиками последовательных частичных сумм полученного ряда, изобразим на рисунке графика самой функции последовательные гармоники ряда (пунктиром) и график 1-й и 2-й частичных сумм (рис. 46, б). Как видно из этого рисунка, чем больше последовательных гармоник ряда включает в себя частичная сумма, тем ближе график частичной суммы подходит к графику данной функции.
13.2. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке
,
где
,
.
Замечание.
Условия сходимости ряда Фурье для
функции
,
заданной на отрезке
аналогичны условиям разложения функции
в ряд Фурье на отрезке
.
Пример 19. Разложить в ряд Фурье в указанном интервале функцию:
Решение.
Вопрос о четности или нечетности данной
функции не рассматриваем, так как она
задана на интервале, не симметричном
относительно начала координат. Длина
указанного интервала (0,4) равна
.
Определим коэффициенты Фурье для этой
функции:
Ряд Фурье данной функции имеет вид:
Полученное
разложение справедливо во всей области
определения заданной функции, причем
в интервале (0,2) сумма ряда
а в интервале (2,4) сумма ряда
так как во всех точках непрерывности
сумма ряда равна исходной функции. В
точке разрыва
где функция не определена, сумма ряда
13.3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Четная функция на отрезке |
Четная функция на отрезке |
|
|
Нечетная функция на отрезке |
Нечетная функция на отрезке |
|
|
Замечание.
Если функция определена на отрезке
,
то, продолжив ее на промежуток
четным или нечетным образом, можно
разложить данную функцию в ряд Фурье
только по косинусам (в случае, если
– четным образом) или только по синусам
(в случае, если
– нечетным образом).
Пример
20.
Разложить функцию
в непол-ный
ряд Фурье: 1) по синусам кратных дуг,
2) по косинусам кратных дуг.
Решение. 1) Для разложения данной функции в ряд Фурье, содержащей только синусы, продолжим ее на интервал (–1, 0) нечетным образом. В этом случае график функции будет симметричен относительно начала координат (рис. 47).
Л
егко
убедиться, что построенная таким образом
функция удовлетворяет условиям теоремы
Дирихле и может быть разложена в ряд
Фурье. Зная, что длина заданного интервала
(0,1) равна
,
найдем коэффициенты
:
Коэффициенты
так как функция нечетна. Следовательно,
разложение данной функции в неполный
ряд Фурье по синусам кратных дуг примет
вид:
2)
Чтобы получить разложение данной функции
в ряд Фурье по косинусам кратных дуг,
продолжим ее на интервал (–1; 0) четным
образом. В этом случае график функции
будет симметричен относительно оси
(рис. 48).
Построенная таким образом функция удовлетворяет теореме Дирихле и, следовательно, разложима в ряд Фурье. Определим ее коэффициенты Фурье:
Коэффициенты
так как функция четная. Следовательно,
разложение данной функции в неполный
ряд Фурье по косинусам кратных дуг
примет вид:
