12.5.3. Ряд маклорена

Если то ряд Тейлора называется рядом Маклорена и разложение функции в ряд Маклорена называется разложением функции по степеням х и имеет следующий вид:

Замечание. Значение функции и суммы ряда совпадают лишь в точках области сходимости.

12.5.4. Стандартные разложения функций в ряд маклорена

№№ п/п	Функция	Ряд Маклорена	Интервал сходимости
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Биномиальный ряд
7.
8.
9.

12.5.5. Примеры приближенных вычислений с помощью рядов

Пример 13. Вычислить значение точностью до 0,001.

Решение. Ряд Маклорена для функции :

сходится в интервале . Полагая , получим:

Для того чтобы выбрать необходимое число членов полученного числового ряда для вычисления значения е с заданной точностью, оценим остаток ряда при .

Заметим, что все члены последнего ряда не превышают значений соответствующих членов ряда

представляющего собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Следовательно, по теореме о сравнении знакоположительных рядов и ошибка, допускаемая при замене суммы ряда частичной суммой, не превосходит . Учтем, что при величина Значит, для вычисления с точностью до 0,001 достаточно взять сумму первых пяти членов ряда:

Пример 14. Пользуясь соответствующим рядом, вычислить с точностью до 0,001.

Решение. Выполним следующее преобразование:

Применяя биномиальный ряд и полагая , , получим:

Учитывая, что в полученном знакочередующемся ряде значение четвертого члена меньше 0,001, делаем вывод: для вычисления с заданной точностью достаточно взять сумму трех первых членов ряда:

13. Ряды фурье

Тригонометрический ряд (1),

коэффициенты которого определяются формулами

(2)

называется рядом Фурье, а числа – коэффициентами Фурье функции . Ряд Фурье, построенный для функции , обозначается так:

.

● Большое практическое значение имеет следующая задача: по заданной периодической функции с периодом найти всюду сходящийся ряд (1), имеющий сумму . Эта задача называется разложением данной функции в ряд Фурье.

● Если отрезок можно разбить внутренними точками так, что на каждом из полученных промежутках и будут непре-

рывны и, кроме того, существуют конечные односторонние пределы и

в концевых точках этих промежутков, то такая функция называется кусочно-дифференцируемой. Кусочно-дифференцируемая на отрезке функция может быть на нем непрерывной или иметь конечное число точек разрыва первого ряда.