Свойства простейших векторных полей
1)
Векторное поле а,
для всех точек которого дивергенция
равна нулю
,
называется трубчатым
или соленоидальным.
2)
Если во всех точках поля а
ротор равен нулю:
,
то поле называется безвихревым
или потенциальным.
3)
Векторное поле а,
являющееся одновременно и потенциальным
(
)
и соленоидальным (
),
называется гармоническим.
11. Дифференциальные уравнения
11.1. Основные понятия
● Уравнение,
связывающее независимую переменную х,
искомую функцию
и ее производные, называется
дифференциальным.
Порядком
дифференциального уравнения
называется наивысший из порядков
входящих в это уравнение производных
искомой функции. Например, уравнения
и
– первого порядка; уравнения
и
– второго порядка; уравнение
– четвертого порядка. Общий вид уравнения
n-го
порядка
(1)
В частности, это уравнение, разрешенное относительно старшей производной, примет вид
(2)
● Решением
дифференциального
уравнения называется функция
,
которая после подстановки ее и ее
производных превращает уравнение в
тождество. График решения дифференциального
уравнения называется интегральной
кривой.
● Задача
Коши: найти
решение уравнения (2), удовлетворяющее
условиям
…,
(начальные условия).
Можно
показать, что при определенных требованиях
к правой части уравнения (2) данная задача
(задача Коши) имеет единственное решение.
Рассмотрим эти требования, например,
для дифференциального уравнения первого
порядка
(3)
Теорема
Коши
(существования и единственности решения).
Если правая часть
уравнения (3) и ее частная производная
определены и непрерывны в некоторой
области D
изменения переменных х
и у,
то, какова бы ни была внутренняя точка
этой области, данное уравнение имеет
единственное решение
,
которое при
принимает заданное значение
.
Геометрический смысл теоремы Коши следующий: через каждую внутреннюю точку области D проходит единственная интегральная кривая.
Дадим теперь определение общего и частного решений дифференциального уравнения (3), правая часть которого удовлетворяет в некоторой области D условиям теоремы Коши.
● Функция
,
зависящая от аргумента х
и произвольной постоянной С,
называется общим
решением
уравнения (3) в области D,
если она удовлетворяет двум условиям:
1) при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству, функция является решением уравнения (3);
2)
какова бы ни была точка
,
лежащая внутри области D,
существует единственное значение
постоянной
такое, что решение
удовлетворяет начальному условию:
.
Всякое решение уравнения (3), получающееся из общего решения при конкретном значении , называется частным решением.
Если
общее решение дифференциального
уравнения найдено в виде, не разрешенном
относительно у,
т. е. в виде
,
то оно называется общим
интегралом
уравнения.